质点动力学问题的研究方法

　　质点动力学的基本微分方程是[1]

　　由此，质点动力学的问题总的来说可分两类[2]：一是已知质点的运动情况，求其他物体施于该质点的作用力，即研究质点何以作这种运动;二是已知其他物体施于某质点的力，求质点的运动情况。第一类问题比较简单，因为已知质点的运动，即已知质点运动方程，因此，只需要求两次导数得到质点的加速度，将其代入方程(1)得一代数方程组，即可求解。第二类问题需要求解运动微分方程，这比解第一类问题复杂。下面对具体求解方法通过例题加以说明。

　　1 已知运动求力

　　对第一类问题，一般教材中所举实例通常都是求质点在某一特定时刻(或位置)时所受力的大小及方向。对此，只要对运动方程求导，再利用方程(1)便可求得结果。如果运动方程未知，但已知质点的加速度和运动轨迹，可以通过建立适当的坐标系，写出方程(1)在相应坐标轴上的投影，再进行求解。只要对一些坐标系选择(常见的是直角坐标系和自然系)及坐标轴方向选择较熟悉，就可基本掌握这种求解方法。但如果要求解的是作用在质点上的力的一般规律(如与时间、速度、位置均有关，或与其中的一个、两个量有关)，而根据规律，能否确定这是何种类型的力以及这种力和原运动是否唯一对应等，这些问题一般教材几乎未涉及。为便于说明，先看一简单实例。

　　这一关系从数学变换的角度看并无错误，然而从物理原理看并不恰当。因为对特定的A，B，只要选取适当的初始条件，式(3)形式的二维交变例(如点电荷在互相垂直的交变电场中所受的力、式(4)形式的弹性力等)都可能产生同样的运动(2)。现在再来分析一下所求力与原运动的对应关系。如果再设问一下，所求力F满足的规律式(3)是否对应原运动(2)?答案显然是否定的。事实上，只要运动满足

　　2 已知力求运动

　　如前所述，这类问题较第一类问题复杂，单凭教材中几个例题同学们是难以掌握的。为此，我先总结这类问题常见的几种求解思路。

　　2.1 直线运动

　　(1)当质点作直线运动，而力的规律满足F=F(x)时，可直接分离变量进行二次积分，利用初始条件确定积分上下限(或积分常数)，则可确定运动x=x(t)。

　　(2)如果力的规律满足F=F(v)，则可由F=F(v)=ma通过变换得：

　　(4)力的规律满足F=F(t，v，x)时，运用方程(1)可写出对应的二阶常微分方程，再根据此方程的具体形式确定所用的方法。这样求解一般较为复杂，如果写出的二阶常微分方程具有高等数学教材中所举的几种形式，对照解之，就比较容易了。