三维振动里兹法在变幅杆谐振特性分析中的应用研究

    超声加工能降低切削抗力、减少表面硬化，改善工件表面质量，提高刀具寿命和加工效率［1］，已广泛应用于脆硬材料如: 陶瓷、玻璃、钛合金、淬火钢等的车、铣、磨、珩磨、钻削加工。在超声加工中，超声振动系统一般由超声波发生器、换能器、变幅杆以及加工工具或工件等组成，是超声加工工艺系统的核心部件; 振动系统性能直接影响着超声加工质量。超声振动系统中变幅杆的主要作用是把机械振动的质点位移或速度放大，或者将超声能量聚集在较小面积上。变幅杆的设计能否实现超声振动系统的谐振是振动系统设计的关键。目前，超声加工技术中所应用变幅杆的设计是从一维变截面杆的运动方程出发忽略剪切变形和转动惯量对振动的影响［2］，其工程应用局限于变幅杆横向尺寸小于 1/4 纵波长。

    中小模数齿轮超声加工中，加工分度圆小于 100mm，厚径比大于 0． 3 的齿轮( 齿轮轴) 适宜利用纵 － 纵( 扭) 振动方式设计振动系统; 分度圆直径大于 100mm，且厚径比小于 0． 2 的齿轮，适宜利用纵 － 弯振动方式设计振动系统进行超声滚齿、剃齿、珩齿加工。由于齿轮加工机床传动链的复杂性和精确性，超声振动大都加在工件齿轮上，变幅杆的另一作用作为齿轮超声加工的夹持芯轴［3 －4］。变幅杆的截面寸已超出 1/4波长，已不能利用一维振动理论进行设计。

    文献［5］基于瑞利近似理论假设，采用能量修正法对大尺寸变幅杆进行了频率修正，此方法适用于变幅杆截面尺寸小于 1/2 波长，可以满足工程上的精度要求，但只研究了变幅杆的纵向振动，没有涉及变幅杆的弯曲及扭转振动。在铁摩辛柯理论下，等截面梁的弯曲振动解已求出，变截面变幅杆的分析比较复杂，很难得到解析解［6］。

    里兹法是一种无网格划分的数值求解方法，它将数理方程求解变成定积分运算和代数方程组求解，具有简易性，适应于编制程序和计算机计算。随着计算机性能和分析程序的高效化，越来越多的学者基于三维弹性振动里兹法对杆、梁、盘或板的振动分析进行了研究。文献［7 －8］基于三维弹性振动理论，采用能量变分法研究了线性、二次、三次方程截面形状的梁以及中心带孔的圆锥梁的振动特性，并对多项式函数的收敛性进行了深入计算分析; 文献［9］采用三维弹性振动理论和里兹能量变分法研究了均匀截面，不同长径比圆柱的横向振动和板的弯曲振动，并与一维欧拉 －伯努利、铁摩辛柯、有限单元法的求解结果进行了对比分析。

    本文基于三维弹性振动理论，采用能量变分里兹法统一变幅杆的扭转、纵向、弯曲振动的求解方法，并计算不同长径比、不同面积系数圆截面变幅杆的固有频率。对大、中、小圆截面指数形变幅杆的谐振频率，从一维欧拉 － 伯努利振动求解理论、三维振动里兹法、有限单元法、模态实验角度进行对比分析，为大功率超声振动加工领域的大截面变幅杆设计提供了一种有效设计方法。