关联噪声驱动系统的二阶数值模拟算法

　　驱动随机系统的噪声可分为白噪声和色噪声[1].近年来,相关白噪声和色噪声驱动系统的统计性质引起了人们很大的兴趣[2].到目前为止,文献中讨论这类系统都是用解析方法,用数值模拟研究的文献未见报导.由于色噪声驱动系统的非马尔柯夫性,用解析方法通常必须作各种近似,这些近似解析方法的有效性和精度,常用数值模拟来校验.1992年,Honeycutt R L提出了一种称为二阶随机龙格-库塔(SRK)的数值模拟算法[3],它具有形式简洁等优点,但仅适用于一个加性色噪声驱动的系统.本研究把这一算法推广到乘性关联白噪声和色噪声驱动的系统,再用推广后的算法求解该类系统的一个线性模型,并与解析方法的计算结果进行比较.

　　1　一般模型

　　关联白噪声和色噪声驱动系统的一般动力学描述为

　　y(t)的初始值y0是方差为Q/τ的零均值高斯随机数.在本研究中,作为色噪声的y(t)通过ξ1(t)与白噪声ξ2(t)间接相关,这也是该类系统的一个特点.即

　　2　算　法

　　对式(1)和(2)在[t,t+h]上积分,然后将两式迭代展开,略去高于二阶的项,得

式(5)和(6)中,f,g1和g2的下标x代表对x的导数,例如,fxx=(d2/dx2)f(x);各项中未显式写出的自变量是指t或x(t);随机项Γ0和Γ1,G0和G1定义为

　　通过计算可知Γ0(t+h)和G0(t+h)是h的1/2阶项,Γ1(t+h)和G1(t+h)是h的3/2阶项.随机部分Sx(t+h)和Sy(t+h)的统计性质为(略去高于二阶的项)

式(5)和(6)事实上构成了欧拉积分法的基本表达式[4].可以看出,这样的算法比较繁琐,存在着计算速度低且编程时容易出错等缺点,因此有必要寻求更好的数值模拟算法.文献[3]针对单加法噪声驱动的系统提出了一种SRK算法,相比同阶的欧拉积分法具有简洁、高速等优点.其基本思想是先用一阶欧拉积分法预估(x,y)在(t+h)处的值,再用取平均的方法进行校正.为数值模拟本文的系统,按照类似的思路,将这一算法作形式上的推广,则

式中,R1和R′1,R2和R′2均为零均值的随机变量.为确定这些随机变量的二阶矩,把式(8)中两式展开至二阶,略去高于二阶的项,得到

　　推广后的二阶SRK算法可靠性的必要条件是算法表达式中确定性项低于二阶的部分与式(5)中相应项相等,随机部分低于二阶的统计性质和式(7)相等.令式(9)与(7)相等,以确定的R1和R′1,R2和R′2自相关和互相关就可用随机数表示成

式中,Z1和Z2是相关的N[0,1]随机数,它们的互相关为〈Z1Z2〉=λ.这样,相关噪声在算法中就转化为相关随机数,用相互独立的N[0,1]随机数的线性迭加来产生,则Z1=ω1, Z2=λω1+(1-λ²)^1/2ω2.