六自由度耦合隔振系统建模及工程应用

    隔振技术不需要对机械设备及建筑结构作较大的改变，经济性可行性高，被人们所广泛采用。在欧氏空间中，一个隔振对象具有六个自由度，且相互耦合。此外，隔震材料的布置位置可以任意更改。对此，有文献提出了弹性支撑任意布置的隔离体的建模方法[1]，在微幅振动的条件下，充分考虑了耦合及弹性支撑布置的位置因素，用简化模型计算振型的固有频率，有极大的工程意义。但上述方法采用力学分析方法，推导过程较繁杂，且只考虑了隔振器的刚度因素，忽略了阻尼隔振器的能量耗散特性对整个系统的影响，而现实之中大多数的隔振材料不仅有刚度因素，还有阻尼因素，如应用广泛的橡胶等粘弹性材料，其阻尼因素不能忽视，而在特定频率激励下，粘弹性阻尼材料的复阻尼，按照能量消耗的等效原理可转变为等效粘性阻尼[2]。基于此，本文在参考弹性支撑任意布置分析方法的基础上，用拉格朗日方程推导获得六自由度隔振方程的刚度矩阵[3]，并将阻尼引入模型，计入隔振系统阻尼因素的影响，通过推导分析，得出隔振系统的阻尼矩阵。所得刚度矩阵与阻尼矩阵由相关参数矩阵表示，大大简便了数值计算程序的编写，由此建立完整的隔振系统微分方程组。并结合相关文献所得出的橡胶隔振器的特定频率下的等效粘性阻尼系数[4, 5]，选用具体的算例，隔振布置方法的优劣。

    1 六自由度耦合隔振系统的建模

    1.1 物理参数模型

    隔振系统的一般微分方程组可写为

    转变为如下等式

    其中 为非有势力，[ ]M 为惯性矩阵，[ ]C 为阻尼矩阵，[ ]K 为刚度矩阵，{ }F 为激振力向量，{ }X 为广义位移向量。对于多自由度系，采用拉格朗日方程可以避免繁琐的力学分析，方便的得出系统的刚度矩阵。

    图1为隔振系统的布置简图，其中α、β、γ为物体在参考系中分别绕x轴、y轴及z轴的回转角度，正负号服从左手准则；pi、qi、ri为第i个支撑物的位于三个方向上的刚度阻尼支撑轴；Ai、Bi、Ci为第i个支撑物在坐标系当中的布置位置，各刚度阻尼支撑轴与坐标轴 x、y、z 的夹角为θli、φli、ψl（il=p、q、r），kpi、kqi、kri 为第 i 个支撑装置的位于三个方向上的刚度系数，Cpi、Cqi、Cri为第i个支撑物的位于三个方向上的阻尼系数。

    1.2 刚度矩阵的求解

    当被隔振体有了 x、y、z、α、β、γ的移动后，令{ X}i={x }iyiziT为支撑点的位移向量，有：