基于Winding number积分方法求解输流管特征方程

　　0 引 言

　　输流管道广泛应用于船舶、石油化工、海洋工程、核工程等工业领域,它的振动与稳定性问题长期以来受到广大研究者的重视。文献[1-2]对这方面 的研究动态与现状作了详细的阐述。针对这类流致振动问题,目前的数值解法主要包括有限元法、有限差分法、传递矩阵法、微分求积法(DQM)等。文献 [3-4]用有限元法计算了输流管的临界流速并分析了输流管道稳定性。文献[5]采用传递矩阵法研究了弹性地基上输液管的稳定性。倪樵[6]等用微分求积 法分析了悬臂管下游端具有弹性支撑时的临界流速。与其他数值方法相比,传递矩阵法的计算规模较小,对具有中间支撑的输流管处理有明显优势。由传递矩阵法最 终会得到一个低阶的矩阵行列式方程,即临界流速的特征方程,它是一个具有复数自变量的代数方程。解决这类复特征值问题,目前还没有比较完美的解法,常用的 方法主要有Newton-Raphson法、Bairstow方法、割线法和抛物线法[7]等。文献[8]对求解该特征值问题的割线法提出了改进,使得计 算的可靠性增强。Murphy B T等[9]采用Bairstow方法求解了转子的临界转速并分析了转子系统的稳定性。但是, Bairstow方法通常需要消除已计算的二次因子,以避免之后的计算不要收敛于已计算的复零点,这使得求根的先后次序变得没有规律。W indingnumber积分方法是以对数留数为理论基础的,文献[10]使用该方法求解离散方程的复根,计算效率很高。本文首先由传递矩阵法得到输流管 临界流速的特征方程,然后结合算例讨论了W inding number积分方法在复特征方程求解上的应用。

　　1 输流直管的总体传递矩阵

　　设管道横向振动位移为W(x, t),管的抗弯刚度、横截面面积、跨度及单位长度的质量分别为EI,A, l和m,管内流体的密度、流速分别为Q和u,则管的运动方程[11]为:

　　对于定常流速u作用下输流管的自激振动,式(2)的解可写成:

式中:f(N)为待求的振幅函数,8= [(m +QA) /EI]12l2X,一般为复数,其虚部Im(8)为无量纲振动频率,实部Re(8)为振幅的衰减因子,X的虚部为实际振动频率。

　　将式(3)代入式(2)后,可得如下常微分方程:

　　由初参数法可得输流管直管段元的传递矩阵T,它的元素[5]为:

其中,Kn为特征方程K⁴+v²K²+2Ωβ²vλ+Ω²=0的4个根,而系数C_jn为矩阵C的元素,它由式(6)确定。

　　输流直管段元的相关矩阵为H,它的元素为其余元素为0。通过它可得位移、内力向量与无量纲位移、内力向量之间的关系。

　　对于中间有弹性支撑的输流管,可根据支撑节点将管道划分为n段,分别给管的首端与尾端编号为0和n,然后对于各个管段和节点可建立每一管段元的场传递矩阵和弹性支撑处的点传递矩阵。第j段管段元的场传递矩阵为