确定平板层流边界层速度分布的一种方法

　　1　引言及速度试函数之选取

　　平板层流边界层的积分关系式解法,关键在于选定速度分布函数·　经典的方法是选择一个最佳的速度分布函数,使之能满足基本的边界条件·　它们有多项式、三角函数、……诸种形式·

　　最近,彭一川[1]提出一种新的方法,他所选取的速度分布函数(简称速度试函数),除了满足主要的边界条件外,并规定和精确解(数值解)的某些 结果相符合,用以确定速度试函数中的待定系数·　他所得到的结果,比经典方法的相应结果要精确些,但其法计算较烦·　当其利用数值解的某些结果确定试函数 中的待定系数时,需求解三次代数方程·　要确定所得到的3个根哪一个是合理的,也非易事·

　　本文仍然是利用已有数值解的某些结果来确定速度试函数中的待定系数,但只需求解线性代数方程,计算十分简单,即使增多多项式的项数及幂次,计算工作量仍然不大,而所得结果的精度,则是十分令人满意的,并胜过文[1]的精度·

　　文中指出,本文方法和文[1]的方法,均是模仿权残法的思想·　因而这二种方法的理论基础,基本上是一致的·

　　不可压缩流体(不计体力)绕流平板的二维定常层流边界层的积分关系式方程为[2]

　　v∞为自由来流速度,vx为流体质点的纵向速度,δ为边界层的厚度·　速度分布函数F(ξ)所应满足的边界条件为

　　显然,它所满足的边界条件和F1(ξ)所满足的相同,即也有式(6)·

　　现确定系数β·　平板层流边界层问题已有数值解(精确解)·　设本文解与数值解一致,则有

　　其中η为文[2]中的相似变量,f(η)为文[2]中的量纲一的流函数,f′(η) =df(η)/dη·

　　根据数值解的结果,当η=1时,

　　于是,我们确定了待定系数β的数值·　这种方法类似于权残法的配点法,所选配点为(由式(3))

　　将式(12)代入式(10)得速度分布函数为

　　2　结果的检验

　　2·1　摩擦阻力因数及边界层的各种厚度

　　由于

　　从表1可见,本文结果和文[1]的相应结果很接近,比四次式的结果则明显地好些·

　　2·2　速度分布

　　文[1]确定其速度分布试函数中的待定系数-β时是假定其所得近似解的局部摩擦阻力因数和精确值相等,即在式(18)中令

　　由式(23)知,文[1]确定其速度试函数中的待定系数-β的方法也是类似于权残法和变率配点法的混合方法·　实际上,式(23)中含有等 三个因素,其中前两个均是权残法的表式,第一个的权函数是1,第二个的权函数是试函数本身,第三个因素则是变率配点法的表式·　而本文方法,如前所述,则 是单纯的配点法,且只取一个配点·　所以,本文确定速度试函数中的待定系数β的方法和文[1]的相应方法具有相同的理论基础,但后者的计算过程相当烦琐· 　因为利用式(23)决定其待定系数-β值时,需求解三次代数方程,十分烦琐,要判定所得3个根究竟哪一个是合理的也非易事·　反之,本文方法是利用式 (10)及(11)式决定待定系数β,只需求解线性代数方程,十分简单,即使适当增多速度试函数的项数及其幂次,其计算过程仍不十分麻烦,而精度则是很令 人满意的·