二维结构与声耦合声场问题的一种预测方法

    1 引 言

    大多数的声场问题,由于其复杂的几何形状和边界条件,很难得到解析解,一般采用数值方法来进行求解,如有限元法(FEM)和边界元法(BEM)等[1-3]。这些方法需要将整个域或者边界离散成小的单元,每个单元用简单的近似形函数来表示,代入控制方程得到最终解。他们的缺点在于所需单元数目随着频率的增加而不断增大,导致计算模型不断增大,离散误差也不断增大,从而降低计算效率,因此被限制用在处理低频问题。对于结构和声的耦合问题,计算效率和精度的冲突比非耦合的问题要严重得多,因此基于单元的方法在此类问题的应用受到很大限制。对于耦合声场问题,有人[7-9]提出了基于间接Trefftz法[4-6]的Wave Based Method(WBM)。在该方法中,结构的位移和声压可以分别用满足各自控制方程的波函数通解和特解来表示。耦合作用通过声压加载到结构上以及耦合界面上结构和流体法向位移的连续来表示。波函数的系数通过边界条件得到,从而得到问题的解。该方法具有如下优点:计算模型比相应的BEM模型要小;由其解可以推出次级解变量,如从声压解得到速度解。但WBM中基波函数的构成与所求声场的大小有关,因此该方法的应用也受到了一定限制。

    对于耦合声场问题,本文提出了另一种基于间接Trefftz法的波数法(Wave Number Method,WNM),该方法选取一组简单的基波函数,它与所求区域的大小无关而仅仅与波数相关。算例表明,在得到相同精度和收敛性的结果时,WNM比BEM所需的自由度少。

    2 WNM的基本原理

    WNM将结构和声场的动力学响应分别近似分解为两部分,一部分为一组精确满足各自齐次控制方程的通解(波函数),另一部分为外部激励产生的满足自由空间非齐次控制方程的特解。各个通解的系数可以通过采用加权余量公式,强迫该近似解在平均意义上满足边界条件来得到。

    2.1 耦合问题描述

    图1所示为二维结构与声耦合模型。假设声域8的边界包括法向速度边界8v和耦合边界8c,整个域内充满密度为Q和声速为c的介质。8c由一两端固支的弹性平板组成,板长为L,厚度为t,其弹性模量为E,密度为Qs,泊松比为M。单独定义一维板坐标系xc,其原点在r0(x0,y0)处,在板xcF处受到大小为F的法向集中力。

    域8内没有声源时,任意点r(x,y)的声压响应p(r)由齐次Helmholtz方程控制

    其中:▽2=52/5x2+52/5y2;k =X/c为声学波数;X为圆频率。

    板的几何形状用下述位置向量描述

rc(x,y) =rc(x0+xccosA,y0+xcsinA) =rc(xc)(2)

    板的法向位移w由Kirchhoff板弯曲运动方程控制

    其中结构弯曲波数kb和板弯曲刚度D分别为