基于波叠加原理的辐射声场的计算研究

    0　引　　言

    Kirchhoff-Helmholtz积分方程是声学理论中最基本的方程之一,是声场计算的基础.在有限元和边界元两者之中,有限元声学处于更成熟的阶段,可以进行内辐射声场、外辐射声场及其与辐射源的结构响应的耦和的计算.边界元方法作为有限元的补充更加适合于无限范围的问题,如自由场辐射.边界元在计算声学中扮演着重要角色[1～5],但边界元方法在将Kirchhoff-Helmholtz积分方程近似为数字形式时仍然存在一些问题,如由格林函数的奇异性问题伴随来的解的惟一性问题,虽然研究者们研究了众多的数学方法加以解决,但最终的结果总是增加了计算的复杂性和求解所消耗时间[6,7].寻找一种更简单更直接的方法来解决Kirchhoff-Helmholtz积分方程问题是本文的最根本的研究动机和目的.

    1　波叠加法

    波叠加法是基于这样的思想:复杂辐射体的声场由包围在辐射体之中的一批简单辐射源所产生的声场叠加构造出来.如图1所示,让简单辐射源在辐射体中连续地分布,场中点r的声压是所有源的贡献的积分

    式中:Q0为媒介的平均密度;X为包围辐射体V的表面S的谐振动的角频率;q(r0)为在V中分布在r0处简单源的强度.公式中自由空间的格林函数定义为

    2　方程的离散化

    为了求解,将叠加积分方程(1)转化为离散形式,可按以下步骤进行.首先将线性化的欧拉方程

　　代入叠加积分方程(1)中可得声场r点处的速度为

　　因此,辐射体表面的法向速度为

    式中:rs为辐射体表面S上任一点的位置矢量.为方便起见,简单源假设分布在厚度为DS的虚拟的薄球壳上,如图2所示,薄球壳称为源球.公式(6)即可转化为

    式中:R为源球的表面;rR是表面上简单源的位置矢量.因为rR的模可以总是比rs的模小,所以在方程(7)中无奇异性问题,因而在边界元公式中常出现的奇异性问题完全可以避免.

　　进一步,源球的表面R可以分为N个部分,每个部分的面积由Ri表示,公式(7)可重写为

　　公式变化至此,仍为精确解无任何近似,如果所有段Ri足够小,公式(8)中的被积函数可以认为是常数,如此,表面速度可以近似为

    式中:Qi为辐射球体在位置rRi的简单源的体积速度(如图3).公式(9)给出了分布在辐射球体上N个简单源产生在辐射体表面的法向速度,因为un(rs)已知,公式(9)可以用来估计Qi.

　　假设在表面S上N个点的法向速度预先给出(在实际应用中可以通过实验测出),公式(9)对N个未知的Qi给出N个方程,其矩阵形式为

Q=D-1Un(10)

    式中:D为N×N的系数矩阵,称为声偶极矩阵.矩阵的每一个元素由下列公式决定