用回归分析法评定平面度误差

    1 用回归分析法评定平面度误差的原理

    测量平面度误差的方法是:先将被测平板置于基准平板之上,然后按均分网络用千分表测量出被测表面上各测点至基准平板的距离差值,记下读数。这里,所测得的读数称为实测点数据或实测值。

    由于实测值与各测点所在位置即各测点坐标有关,因此可用被测表面上各测点坐标进行回归求得一个回归方程。然后用该方程计算各测点的回归值,将实测值与回归值作代数差,差值中最大正值对应的实测点到回归平面的距离与差值中最大负值对应的实测点到回归平面的距离之和即为平面度误差。若误差值小于公差值,则平面度合格。这便是用回归分析评定平面度误差的原理。

    2 用回归分析评定平面度误差的方法

    2.1 平面回归方程的数学模型

    空间平面的一般方程为

Ax+By+Cz+D=0

    平面度误差测量中所得的实测值相当于该平面方程中的z值,由于它与各测点位置有关,故实测点数据z可看作一个函数的因变量,x,y即为函数的两个自变量,于是平面方程可表示为函数式

    式(1)便是平面方程线性回归的数学模型,称之为回归函数。

    2.2 参数的最小二乘估计

   我们采用最小二乘法来估计模型式(1)中的参数B1,B2,B0。

    令其中,n为实测点数。则各Bj的最小二乘估计^Bj(j=0,1,2)应满足

    由于Q(B0,B1,B2)是B0,B1,B2的非负二次式,且关于B0,B1,B2均可微,因而根据微积分原理,^B0,^B1,^B2是下列方程组的解

    通过整理可将式(2)写成如下形式

    求解式(4)便可得出参数B的最小二乘估计。

    至此,我们已经获得了一个平面方程

    显然,该方程所代表的是一个理想平面,它反映了所有测点的平面趋势。这些测点有的位于该平面上,有的位于其上下两侧。在每一侧,总有一个测点至该平面距离为最大,那么,平面两侧最大的两距离之和即为平面度误差。

    3 应用举例

    经实测,实际表面上的9点对测量基准的读数(单位Lm)如下所示。

    该零件表面的平面度公差为0102mm,问该表面的平面度误差是否合格?

    3.1 用回归分析求解

    (1)由前知,建立回归方程需知道每个测点的坐标(xi,yi,zi),而实测值只相当于坐标中的zi,另两个坐标值可依照均分网络的测量方法在自行选取被测平面上的坐标起始点后,按等间隔给出其余各xi,yi。