基于构形理论的变断面导热通道体-点导热优化

　　0 前言

　　将构形理论^[1-4]引入到传热领域中进行研究，体-点导热模型受到较多关注^[5-7]。电子器件内部冷却可归结为体—点导热问题，即如何在特定几何空间(体)内布置一定的高导热材料，将其内发热量高效的传到器件表面的某一指定位置(点)。文献^[5]给出了这一问题的求解方法，它建立在如图1所示的基本构造单元的基础上(为简化分析，只考虑二维情况)。图1中，H₀为单元体宽度，k₀为单位体导热系数，D₀为单元体导热通道宽度，k_p为高导热材料导热系数，L₀为单元体长度，q′′′为产热率。首先利用优化方法使单元体的热阻最小，得到其最优外形;然后若干(n₁)个单元体进行第一次组装，n₁同样存在最佳值，使得组装后构形体热阻也达到最小。按照同样的方法继续下去，经过若干次组装和优化过程，直至构形体能覆盖住所给空间，从而完成热阻最小化工作。

　　进一步对体-点导热模型中的单元体外形进行优化，如考虑三角形^[8]、弹头型单元体^[9]等;也可以对其内部高导热通道进行优化，如变断面通道^[10]、通道和边界间存在间隙^[11]等。本文将在文献^[10]所考虑的变断面高导热通道矩形单元体(图2)的基础上进一步进行优化分析。

　　1 变断面体-点导热模型

　　体-点导热问题的数学表述为：控制体的长、宽、厚分别为L、H 、W ，其体积V(V=H×L×W)一定。体内各点均匀产热(产热率q′′′，可视为均匀内热源)，通过边界上的一点向外散热，边界上其他部分绝热。高导热材料(导热系数k_p，控制体其余部分导热系数k₀)体积V_p一定，确定其在控制体内的最优布置，使控制体热阻R最小。优化目标也可等效成为使控制体散热量达到最大，或使体内最高温度最小化。

　　为使分析简化，只考虑二维情形，此时控制体的面积为A(A=H×L)，而高导热材料面积则为Ap。优化过程从控制体内最微小部分(单元体)开始，图2给出了该单元体结构示意图。其外形为矩形，面积A₀一定但长宽比H₀/L₀自由变动;沿x方向，高导热材料构成的通道不再是等断面的长条状，而是x的函数，需要对其宽度D₀(x)进行优化以更进一步的减小热阻^[10]。为简化问题，需做如下假定。

　　(1)两种材料的导热系数相差比较大，即k_p/k₀》1。

　　(2)高导热材料k_p所占面积A_p很小，即A_p/A《1。

　　(3)高导热材料k_p在控制体内连续分布。