求简支矩形厚板弯曲解的一种新方法

　　0引言

　　在工程实际中，矩形厚板的应用是非常广泛的.众所周知，精典弹性理论只有在厚跨比较小的情况下，才能给出精度足够的解.但是厚板弯曲问题的控制方程是一组高阶偏微分方程组，求解起来是相当困难的，因此找出一种简单可靠的求解方法，无论是从理论上还是从实用上都是非常有意义的.

　　功的互等定理是弹性理论中的一个基本原理.1981年，付宝连先生第一次将此原理应用于求解板的弯曲问题.从而将求解较复杂的偏微分方程转化为求一个积分.使求解的难度大大降低.原则上讲，此原理适用于求解任何支承条件下受任何载荷作用的板的弯曲问题.

　　1功的互等定理

　　设有两个弹性系统，它们的儿何形状和尺寸、材料性质完全一样，但所受载荷各异.功的互等定理的内容可以表述为:第一个系统上的载荷在第二个系统对应位移上所做的功等于第二个系统上的载荷在第一个系统对应位移上所做的功.以图1所示的两个简支梁系统为例，根据功的互等定理得:

　　如果已经知道或容易求得弹性体在某种简单载荷作用下的解，那么利用功的互等定理便可较方便地求出它在复杂载荷作用下的解.而实际的弹性体原则上既可以是梁，也可以是板还可是壳.

　　2问题的描述

　　根据Reissner理论，厚板的弯曲问题可以归结为寻求下列偏微方程组的解.

　　而板的边界条件的给法是:

　　简支边界一挠度、弯矩、切向转角均为零

　　固定边界一挠度、切向转角、法向转角均为零

　　自由边界一挠度、扭矩、剪力均为零

　　3简支矩形厚板在两种载荷作用下的弯曲解

　　为求得简支矩形厚板在一般载荷作用下的弯曲解，选取如图2所示的基本系统.它的四个边界均为简支支撑，在坐标处受单位集中载荷.尺寸、材料与实际系统完全一样.其控制微分方程为:

　　(7)的Navier解为:

　　基本系统的解(10)称为基本解.

　　当实际系统受到的是沿板面的均布载荷q时，由功的互等定理得:

　，为待定常数.容易验证(14)满足控制方程(2).

　　根据(13)、(14)，利用(s)、(9)的第三式可得:

　　这表明实际系统的应力函数φ为零.

　　至此可以验证(15)能满足(1)及(8)、(9)的第一、二式

　　当实际系统受到的是集中力p时，应用功的互等定理的结果是:

　　利用(8)、(9)中的第三式仍可得到φ为0的结论.同样可以验证(15)满足(1)及(8)、(9)的第一、二式。

　　4算例

　　设矩形板的长宽比为分别为0.05，0.1，0.15，0.2，0.25.分别计算了在均布载荷和在板中点受集中载荷作用时，板中点的挠度。