三边固定一边自由厚矩形板受迫振动的稳态解

　　0前言

　　矩形厚板在工程实际中有着广泛的{泪!J，板的经典理论用于计算厚板的弯曲、稳定与振动时会产生较大的误差.在各种厚板理论中，Reissner理论应用最广.该理论通过定义平均挠度和平均转角，得到了两个控制微分方程.山于它们都是高阶偏微分方程，要直接求解显然是很复杂的.当厚板发生受迫振动时，求解便更加困难.利用功的互等定理，通过定义基本解，可以将求解高阶偏微分方程转化为求三个积分.这不仅降低了求解的难度.而目.从计算结果来看，误差较小虽然这只是计算厚板受迫振动的一个新方法，但无疑它有着较强的工程实用价值.此外，将功的互等定理推广应用于厚板的受迫振动，这本身又丰富了功的互等定理.

　　1基本方程

　　设各向同性厚板受横向分布载荷宁的作用其长、宽、厚分别为a、b、h，弹性模量和泊淞比为E、u，Reissne:理论的控制方程为:

　　2功的互等定理法

　　为应用功的互等定理，选取如图飞所示的矩形板为基本系统，它的尺寸、材料与实际系统一样.但其为四边简支约束.基本解取为

　　可以验证，(11)能满足方程(2).

　　为加快级数收敛，一般是将上述双三角级数型的挠度函数转化成三角级数与双曲函数的混合形式.由于篇幅限制，具体形式这里不一一给出.

　　在利用x=0，u边界条件时，采用的形式;在利用y=0，b边界条件时，采用的形式.容易验证，(3)和(4)中的下述边界条件自然满足:

　　方程(12)一(15)构成一多维线性方程组，指定级数的项数，便一可求解该方程组，从而得到待定系数浅关:.这样便确定了挠度函数和应力函数的具体形式，从而可以进一步计算板内诸点的内力.

　　3数值结果分析

　　取关各自前十五项，借助计算机不难求得它们的具体值.作为算例本文计算了两种情况.表1一表4给出了固定边弯矩，自由边振幅及扭角的结果·由此我们可以看出，上述结果随载荷频率l均变化规律.即受迫振动的各个量的振幅都随载荷频率作共振响应。

　　参考文献

　　1.付宝连，李农.弹性矩形薄板的功的互等定理法.应用数学和力学，l粥9(10)

　　2.李欣业，付宝连.两对边固定另两对边简支弯曲厚矩形板受迫振动的新解法.河北工业大学学报，1995(4)

　　3.曹志远等.厚板动力学理论及应用.北京:科学出版社，1983

　　本文作者：李欣业 陈英杰 付宝连 钱海潮