利用波的传播求梁弯曲振动的频率响应

    0　引　言

弹性梁受到载荷作用时,并不是在梁内的所有部分都立即引起位移、形变和应力.在作 用开始时,距离载荷作用点较远部分都不受干扰.在作用开始后,载荷作用引起的位移、形 变和应力就会以波的形式向远处传播.对有限长梁而言,当遇到支承或梁的端界面时,产生 反射,入射波和反射波在梁上沿相反的方向传播,它们将相互干扰,形成驻波,也就是有限长 梁的动态响应.

    1　无限长梁的频率响应

    1.1　设无限长梁上距坐标原点a处受集

中力p(t)的作用.

在小变形假设下,梁的振动方程为:

现在考察(3).由于小变形假设,无限长梁在两无穷远处的位移应有限,于是可取A2,A4,B1,B3为零,即A2=A4=B1=B3=0,因此(3)变为:

其中,eλx,ejλx是沿梁向左传播的近程波和远程波,e^-λx,e^-jλx是沿梁向右传播的近程波和远程波.

在无限长梁上的载荷作用处存在以下连续性条件:

    1.2　设无限长梁上距坐标原点b处受集中力偶M(t)的作用

如图2,在梁上b处的连续性条件:

    1.3　设梁上受任意分布载荷q(x,t)作用

在分布段上分割成无限多小微段,每一微元段上的力可看成集中力处理.梁的振动响应可写成下式:

以上分析了梁在集中力P(t)、集中力偶M(t)和分布载荷q(x,t)独立作用下的频率响应.根据迭加原理,梁在受Pi(ai,t),Mi(bi,t),qi(x,t)共同作用时,梁的频率响应为:

    2　有限长梁的弯曲响应

设有限长梁受任意支承、任意载荷.在无限长梁上,波向左(右)一直传播出去,但在有限长梁上,当波传播到支承或端点时,产生反射波.入射波和反射波在有限长梁上互相干涉,形成驻波.于是,有限长梁的频率响应可写成下式:

其中,C1,C2,C3,C4是反射波的待定系数;Pi(ai,ω)中包含已知力和支承反力(待定);Mi(bi,ω)中包含已知力偶和固定端的约束反力偶(待定).在简支处和固定端处,实际上就是驻波的波节.根据约束条件可求出C1,C2,C3,C4和所有约束反力.

    3　粘弹性简支梁上的隔振

粘弹性简支梁代表柔性基础,质量块M代表被防护体,弹簧k和阻尼c代表隔振器,它们共同构成混合动力学系统(图3).

根据本文理论,混合动力学系统转换模型如图4示.系统响应可根据图4直接写出为:

其中,ω2n=k/M为隔振器的固有频率,2n=c/M为隔振器的阻尼比.

令x=L/2,代入(16),结合(17)和(18)式整理得:

本文导出的(20)式与文献[6]中的结果完全一致,证明了本文的正确性.同时,可以看出,利用本文理论公式省去了求解偏微分方程的过程,直接进行代数运算就可以达到目的.