叠加原理在刚体静力学中的应用

　　0　引言

　　刚体静力学中,求解约束力是最基本的问题,也是力学教学中的一个重点内容。一般而言,求解约束力可分3步进行:选择研究对象、对研究对象进行受力分析、列平衡方程求解。单体约束力的求解较简单,但是工程中的组合构架等由几个物体组成的刚体系统的约束力的求解较复杂。刚体系统约束力求解的困难在于如何选择研究对象,研究对象选择不当将会使求解变得很复杂,尤其是对于构件和主动力较多且无二力构件的刚体系统,约束力的求解就更为复杂。为此,本文提出了用叠加原理来求解这类问题的约束力,使问题变得相当简单。

　　1　刚体静力学中的叠加原理

　　在刚体静力学中,当刚体系统上有n个主动力共同作用时,由每一个主动力引起的各个约束力将不受其它主动力的影响(力的独立作用原理),因此,约束力是各主动力的线性齐次式,故计算约束力时可以应用叠加原理。

　　在刚体静力学中的叠加原理可叙述如下:

　　设有n个广义主动力F1、F2、F3、…、Fn作用在刚体系统上,任意一个欲求的广义约束力记为Ri,每一个主动力Fj单独作用下在该欲求约束反力处产生的约束力记为Rij,则由叠加原理得:

　　建立空间坐标系oxyz,设Xi、Yi、Zi分别是Ri在x轴、y轴、z轴上的投影,xij、yij、zij分别是Rij在x轴、y轴、z轴上的投影,则有:

　　于是可得约束力Ri的大小、方向及余弦为:

　　2　求解实例

　　以图1所示构架为例,对上述叠加原理加以验证。构架由直杆BC、CD及直角弯杆AB组成,各杆自重不计,载荷分布及尺寸如图所示。销钉B穿透AB及BC两构件,在销钉B上作用一集中载荷P,已知q、a、M且M=qa2,求固定端A的约束力及销钉B对BC杆、AB杆的作用力。

　　该平面构架受力较复杂,用常规方法求解困难,可用叠加原理求解。构架所受主动力有三角形分布载荷、集中力、集中力偶及均匀分布载荷4种。各载荷单独作用时的构架图如图2(a)、(b)、(c)、(d)所示。从图2可看出,载荷单独作用时,构架受力非常简单,构架中出现二力构件,研究对象选取明显,求解简单迅速。设固定端处反力为XA、YA、MA,销钉对BC杆的反力为FBCX、FDBC,销钉对AB杆的反力为FABX、FABY,反力均设为水平向右和竖直向上为正,反力偶设逆时针为正。

　　计算结果如表1所示。

　　表1中的中间4列分别是4种主动力单独作用下产生的各约束力,最后一列是前4列的代数和,由叠加原理可知,各主动力共同作用下的约束力就是该题目要求的最终结果,负号表示反力与假设方向相反,与通过常规方法所求结果完全相同,这说明叠加原理对刚体静力学中约束力的求解是完全适用的。