均布载荷作用下厚矩形板的弯曲

　　与经典弹性薄板弯曲理论相比,厚板的弯曲需要考虑横向剪力对变形的影响.对于考虑横向切变形影响的板的弯曲,有很多理论,诸如Reissner,Henkey,Kromn,Mindlin和Donell-Panc等.本文将采用最早期著名的并得到广泛应用的Renissner理论.

　　对于求解厚板弯曲的方法,有叠加法、变分法、有限元法和初始函数等方法.在这些方法中,叠加法获得了广泛的应用并且也是较好的方法.叠加法能被应用于求解某些复杂边界条件的问题.但是它有两个缺点:第一,把一个复杂边界条件的问题分解为若干简单边界条件的问题,并把它们叠加起来是件容易的事;第二,从头到尾地求解所有被叠加的边值问题过于烦琐.与叠加法比较,功的互等定理法没有这些缺点.

　　1　基本方程

　　对于Reissner理论[1〗,控制方程为:

　　切力、弯矩、扭矩和转角分别为:

　　边界条件由简支边、自由固定边组成.

　　如图1所示,对于简支边x = o,边界条件为

　　对于自由边x = a,有

　　固定边y =0的边界条件为

　　2　功的互等定理法

　　图2所示为基本系统,是在流动坐标处作用一横向二维Dirack-Delta函数δ(x-ξ,y-η)的四边简支厚矩形板,我们将基本系统的解称为基本解[3〗,并在基本解中用1标志,如Q1x0,ω1x0,M1x0分别表示在x =0处的切力,转角和弯矩.

　　3　均布载荷作用下二对边简支另两边固定厚矩形板的弯曲

　　3.1　理论与计算

　　如图3所示,将均布载荷作用下二对边简支另两边固定厚矩形板看作实际系统,解除固定边的弯曲约束并用弯矩代替它们,我们得到如图4所示的实际系统,并且把q-(h2/10)[(2-v)/(1-v)]52q看作为实际系统的等效载荷.我们假设

　　其中

        在图2基本系统与图4实际系统之间应用互等定理,我们得到

　　将基本解的边界值和(3·1)代入(3·2)之后,式(3·2)成为

　　我们假设应力函数是:

　　其中

　　使内弯矩(1·6)等于边界弯矩(3·1),该应力函数被求解为:

　　边界条件为ωηη0=0,ωηηb =0由于本例有Myo= Myb,所以只需取ωηη0=0即

　　3.2　数值分析

　　式(3·6)是具有无穷未知数的方程,事实上我们只能取有限个未知数.计算表明对于m取40项,我们可得到足够精度的结果.

　　对于本节所有的图表,我们取a/b =1,v =0.3.