截面的剪切形状系数对杆系结构影响的随机解分析

　　对于存在剪切变形的杆系结构,截面的剪切形状系数对其解的精确性是有影响的,不同截面形状具有不同的剪切形状系数,因而对结构解必将产生不同的影响。对于圆形截面梁,在工程中往往忽略剪切形状系数的影响,这是由于该影响并不显著的缘故。但对于剪切形状系数较大的梁,诸如薄壁管、工字型梁、箱形梁等,要获得比较精确的解答,必须考虑剪切变形的影响,即剪切形状系数不可忽略。

　　在实践中,梁的截面形状往往千差万别,因而也就具有千差万别的剪切形状系数。要将众多不同的剪切形状系数全部考虑进去,往往存在着困难,给计算带来不便。本文将剪切形状系数视为普通变量,针对具体截面形状赋以具体数值的办法可使解答更趋真实,同时采用随机化方法考查了剪切形状系数的变化对结构解的影响程度。这种做法是我们的一点初步尝试,更系统的工作,诸如找出对所有截面形状通用的剪切形状系数表达式等问题待以后研究。

　　1　工程随机分析的方法[1]

　　1.1　工程随机分析的基本知识

　　设Zi为一随机变量,-Zi为其均值,α为另一随机变量。若α相对-Zi为一小量,且α的均值E(α)=0,而Zi可表示为Zi=-Zi+α,则称随机变量Zi满足小扰动随机性。

　　再设Z为一随机向量,-Z为均值向量, Z=(Z1,Z2,…,Zn)T,-Z=(-Z1,-Z2,…,-Zn)T,则有Taylor

　　公式:

　　式(1)中,f(Z)为随机函数,Zi为Z的分量,-Zi为Zi的均值,fi是f对Zi的偏导数,fij是f对Zi、Zj的二阶偏导数。

　　略去高阶小量,得:f(Z)=f-Z+∑fi(-Z)(Zi--Zi)。随机函数的均值为:E[f(Z)]=f(-Z);方差为:Var[f(Z)]=∑∑fi(-Z)fj(-Z)Cov(Zi,Zj);协方差:Cov(Zi,Zj)=E(ZiZj)-E(Zi)E(Zj);协方差:Cov[f(Zi),f(Zj)]≈∑ni=1∑nj=1fi(-Z)fj(-Z)Cov(Zi,Zj)[2]。

　　随机有限元法除了Taylor展开法外,还有摄动随机有限元法、Neumann展开Monte-Carlo随机有限元法等。

　　1.2　空间梁单元刚度矩阵Ke对剪切形状系数fs的导数公式

　　将Ke的表达式对剪切形状系数fs求导,则有

　　式(2)中,Ke的具体表达式见文献[3], H矩阵为梁单元由j结点的结点力向量到i结点的结点力向量的过渡矩阵,K′ijfs为i结点的刚度矩阵Kii对剪切形状系数fs的偏导矩阵。

　　若将Ke(fs)在fs0用一阶泰勒公式展开,则

　　在本论文算例中,取fs0=9.5/9,fs-fs0=0.5,引用式(1)后算得的各结点位移(表1)与fs=10/9时算得的真实解(表2)非常接近,证明泰勒一阶展开在工程中具有很好的应用价值。

　　2　算例

　　2.1　算例的引用及说明

　　为了保证计算的正确性及算例的典型性,本论文引用文献[3]的算例,算例图式见文献[3]图4-12,材料及单元数据见文献[3]表4-11,应用程序FRAME3并对有关子程序适当改动后算出了计入fs后各结点位移和内力结果,内力结果由于篇幅问题这里暂不列出。以下列出本算例在计入截面的剪切形状系数fs时的位移解及其对剪切形状系数fs的随机解并与不计fs时的结果进行比较分析(为了方便,将算例中的所有单元视为实心圆形截面梁,fs取10/9),其中不计fs时各结点的位移结果可参阅文献[3]表4-12,由于篇幅问题这里省略(文献[3]的计算未计入剪切形状系数fs)。计入剪切形状系数fs后,本算例的解答见表1~4及图1、2。