不可压缩流动的TG有限元模拟

　　有限元法由于具有适应复杂几何形状和边界条件的优点而日益成为计算流体力学中的优选方法.传统的有限元法等效于中心差分,随着流动Reynolds数的增加, N-S方程中的对流项越来越强,呈现高度的非线性,从而引起数值解的失真与振荡.为此,人们一方面采用细化网格以降低网格Reynolds数的办法来抑制振荡(但内存需求和机时大大增加);另一方面把差分法中处理对流项的迎风方法引入有限元法,形成所谓的迎风有限元法〔1〕. 1984年Donea提出了TG有限元法〔2〕;该法利用时间导数的高阶Taylor展开项与空间导数的转换,产生了相当于人工粘性的耗散项,自然引入了流线迎风的耗散机制,具有较好的稳定性和较高的精度.但是,在多维对流扩散问题中, TG有限元法中由时间离散而产生的流线迎风耗散项,可能出现负耗散的情况,从而失去其提高算法稳定性的作用.为此,本文对其进行了缩并运算修正,使其起到了人工粘性的作用,大大提高了算法的稳定性.算例表明,它可适用于很高Reynolds数流动的计算.

　　1　控制方程及其TG有限元离散

　　二维不可压缩流动的控制方程为

　　式中:u为流体速度;p为流体压力.

　　将动量方程(2)改写为对流扩散形式:

　　比较式(5)与式(7)可以看出,在TG有限元法中,AIJ中多出了∫Ω(αΔtNI,iNJ,i/2 +Δt2ujukNI,jNJ,k/6)dΩ;BIJ中多出了∫Ω(-ΔtujukNI,jNJ,k/2)dΩ.不难发现,这些多出的附加项,形式上都是一个对空间二阶导数的有限元离散格式,作用相当于人工粘性,但该人工粘性不是人为加入的,而是通过把Taylor展开中的高阶时间导数转换为空间导数得到的.此外,FnI与SUPG有限元法〔1〕在形式上是一致的,即相当于在SUPG有限元法中取权函数WI=NI+ΔtujNI,j/2.进一步分析知,该法保留了空间的三阶离散精度.所以, TG有限元法隐含了流线迎风的耗散作用,保留了空间的高阶离散精度.上述附加项中的ujukNI,jNJ,k,形式上是耗散项的有限元离散格式,作用相当于人工粘性.但在多维对流扩散问题中,扩散系数ujuk可能为负值.为了避免该附加项带来负耗散,必须保证ujuk≮0,特对该附加项作如下缩并运算处理:

　　经过上述修正的TG有限元法,确保了附加项能够起到人工粘性的作用,得到了稳定的耗散机理.实践证明,它可应用于较高Reynolds数流动的计算.对于式(2),只要给定初始速度、压力及边界条件,应用式(4)便可得到下一时刻各节点的速度值.

　　2　不可压缩流动的求解

　　采用压力校正法求解不可压N-S方程组.设第n时间增量步时的压力为pn,速度为uni,记第n+1步时的压力修正量为(δp)n,相应的速度修正量为(δui)n,则第n+1步时的压力和速度为