用Cn群解梁弯曲问题

　　对于梁弯曲问题研究有大量的文献,有限元逼近是一种有效广泛应用的方法.但是对于求解多节点有限元,必须求解一个阶数很大的矩阵.如何提高计算速度和降低计算量是有限元研究的一个重要方向.钟万勰等曾将Cnv应用于对称结构问题的求解,计算表明可以大大降低计算量〔1,2〕.目前用群论方法研究对称结构问题有大量的文献〔3~10〕.我们也曾研究过应用群论构造正交有限元函数〔9,10〕.本文用群上空间算符的特征向量方法重新推导Cn群的正交基,并将它应用于均匀梁弯曲问题的分析.

　　1　基本理论

　　定义局域函数f(x),g(x)为

　　设周期区域为0≤x≤L,并利用平移算子Cin,其角标i=0,1,2,…,n-1.将定义局域(0≤x≤L/n)的函数fn(x)=f(nx/L), gn(x)=g(nx/L),扩展到整个周期区域的n个基函数.这里Cinφ(x)=φ(x-iL/n),并有

　　其中Cinφ(x)=φ(x-iL/n).构造有限元空间为

　　考虑阿贝尔群Cn=(e,C1n,…,Cn-1n)和算子R=C1n+Cn-1n,并应用特征向量求解方法,得

　　可以得到群上空间的正交基为

　　其中dki=cos(2ikn),-dki=sin(2ikn), i=0,1,2,…,n/2, k=0,1,2,…,n-1.

　　将阿贝尔群的正交基,作用于有限元局部基函数在周期区域中(0≤x≤L).我们在有限元空间中找到正交基为

　　其中i=0,1,2,…,n/2.

　　为了方便,我们设

　　于是,此式又可写成

　　上述函数满足

　　2　在梁弯曲分析中的应用

　　一般梁结构皆为非周期.将梁结构延拓并加上附加载荷,使成为周期结构.于是,梁位移写成

　　在式(9)中,ai=[ai,1,ai,2],-ai=[-ai,1,-ai,2],其中ai为待定常数.

　　在每一个特征函数子空间,内转角为

　　在每一个特征函数子空间内,屈率为

　　每个特征小空间的应变能为

　　这里

　　外力功为

　　其中i=0,1,2,…,n/2.这里

　　如果集中力与集中力矩作用在接点上,根据F(X),G(X)的定义,上式可以写成

　　在子空间上应用能量法原理有

　　上式可以写成

　　上述E为弹性模量,I为抗弯截面惯性矩,L为周期.上式方程最多不超过4个未知数.

　　为了满足边界条件,可以在其边界上加上附加的外力、力偶,并设梁上作用力为F.附加力和力偶分别为Fn和Mn,有

　　由式(19)可以看出,位移是附加力和力偶的线性函数.梁的边界条件,其中简支边界为w|x=xi=0,M|x=xi=0;自由边界为Q|x=xi=0,M|x=xi=0;固支边界为θ|x=xi=0,w|x=xi=0.图1为简支梁受均布载荷作用.将梁延拓(图2),并加上附加载荷(F1,F2,M1,M2).由边界条件求出附加载荷,计算结果如表1所示.表中节点(n)位移w=1l4(12EI)-1w