利用有限元数值计算方法模拟板的振动

    振动现象普遍存在于弹性连接的运动系统中。在分析振动特征时,通常的方法是建立有质量、弹簧、阻尼单元组成的系统,然后通过求解微分方程,得到振动系统运动特征的解析关系[1,2]。这种方法存在一个很大的缺点,就是简单的质量、弹簧模型,无法描述振动系统全部的动力学关系。例如在结构的局部出现的弹性变形。因此在利用这样的分析方法研究振动过程的时候,随着系统复杂程度的提高,计算分析结果与实际情况的差别将显著增加,从而使分析结果失去意义[3]。

    针对这个问题,本文提出采用有限元方法进行建模,从而在模型中保留尽可能多的信息,从而是分析结果更加详细。本文通过有限元模型分析了随机激励作用下板的振动规律。对振动过程中系统的任意质点在任意时刻力学参数的求解。本文利用有限元模型中的几何信息,边界条件与初始条件来模拟系统的运动规律,建立了一个数字化的虚拟振动系统。计算机模拟的振动过程与实际的振动是完全一致的。设计人员可以在设计阶段分析设计方案的动力学性能,了解结构振动过程中的各个细节。

    1　模拟分析的计算基础

    利用有限元方法分析运动问题,首先要对物理过程进行数学建模。下面简要说明进行有限元计算的数学基础。首先根据经典力学的理论建立分析系统的应力平衡方程[4,5]

    [L]^T{σ} + {f} = 0

    边界条件为　　　{ti} = {te}　S=Sσ上

式中:{ti}为系统内力;{te}为作用在系统表面Sσ区域上的外部表面力;{f}为体力;[L]T为微分算子

　　直接由平衡方程出发获得适应于各种边界条件的有限元控制方程比较困难。常用的方法是从经典的虚功原理或加权余量原理出发,得到广泛适用的有限元控制方程。

    虚功原理认为,一个处于平衡的物体当施加满足位移边界条件的连续虚位移时,其外力虚功等于物体应力在虚应变上产生的变形能,具体的数学表达式为

式中:δε为对应虚位移δu的虚应变。用位移作为控制方程位置变量的方法成为位移模型,是主要的有限元求解方法。

    对于位移模型而言,虚功原理演变为总位能原理:在一个物体上,满足位移协调以及位移与运动边界条件的所有位移形式中,满足平衡条件的位移形式可以使总位能取最小值。

    一个变形体的总位能为Π,

    Π=U-W

式中:U为变形能;W为外力功,根据虚功原理δΠ=δU-δW=0,对总位能求位移的变分

　　应用上述的有限元离散建模处理技术,可以对任意连续体的动力响应过程进行模拟。

    2　振动过程的计算研究