弹塑性力学问题的广义有限元法

　　自从20世纪60年代有限单元法问世以来,随着现代计算机科学的发展,为了分析、模拟材料和工程结构的特征,相继建立了许多数值方法和计算方法,如边界元法、数值流行方法、界面元法等。在现有的数值方法中,传统有限元理论成熟,原理简明,已被工程界普遍接受。目前,为了提高有限元法解的精度,也提出了相应的措施。按逼近真实解的途径,常规改进方法有:h型有限元法、p型有限元法、hp型有限元法。

　　石根华[1]提出的数值流形方法中将节点作为物理覆盖,通过提高定义在覆盖上的局部逼近函数的阶数,从而提高流形方法总体求解的精度。梁国平[2]吸收了流形方法的有限覆盖思想,提出了广义有限元的概念,并从数学上论证了广义有限元方法的可行性。由于广义有限元的自由度全部定义在节点上,因此容易被传统的有限元程序接受,并且由于其协调性总能保证,故不同节点的多项式的阶次可以按照问题的需要任意选取。文献[3]采用同一思想,建立了广义有限元的数值实施列式。文献[4]对平面问题的广义有限元进行理论推导和程序实施。本文在上述作者工作的基础上,推导了平面弹塑性问题中的广义有限元理论及数值实施列式,论证了广义有限元在求解弹塑性问题的可行性与有效性。

　　1　广义有限元的概念

　　1.1　单元位移模式及插值函数

　　设Sn为传统有限元空间,插值基函数取为则以传统有限元法所表达的位移函数近似解为:

　　其中,ui(i=1,2,……,N)为节点位移。

　　构造新的逼近空间,采用分片任意高阶多项式甚至级数展开式作为逼近空间。将传统有限元的节点自由度广义化,认为各节点可有任意多个广义自由度,即将式(1)中传统位移向量ui进一步表示为多个广义自由度的函数。对于位移元而言,节点的广义自由度即为节点的广义位移。例如:

　　由于在新的插值函数Ni中包含有传统有限元中的插值函数i,因此广义有限元的协调性自然得到保证。由此构造出的有限元插值方法称为广义有限元法。这种具有多个广义位移的节点称为“广义节点”。当取mi=1及fij(x,y)=1时,这种广义有限元方法便退化为传统有限元方法。

　　在广义有限元法中,一个广义节点上的广义位移的数目是与人们所期望的单元插值函数的阶数有关的,可任意取定。

　　1.2　几何矩阵

　　1.3　单元刚度矩阵

　　现用C表示弹性矩阵。在得到插值函数和几何矩阵后,就可建立弹性力学边值问题中能量泛函表达式的离散形式,进而通过变分原理得到系统的总体支配方程。

　　Ke表示广义单元刚度矩阵。其中分块子阵Kij,其阶数与所采用的广义插值函数的阶次有关。对于平面四节点等参单元,当节点具有一阶广义插值函数时,Kij是一个6×6阶的矩阵,而当节点具有二阶广义插值函数时,Kij则是一个24×24阶的矩阵。