基于精细积分的结构主动最优控制算法

　　目前,非线性动力时程分析的高精度、高效率计算问题仍较难解决.经典动力方程的数值解法[1],如中心差分法、Runge-Kutta法、Wilson-θ法、Newmark法和Houbolt法等,若时间步长较大,则精度不高或不能正确反映一些高频振动分量,有时会产生周期延长或响应幅值衰减现象.

　　在结构非线性时程分析中运用上述方法,若步长选择不当,所得响应将产生较大失真(主要是算法中会产生人工阻尼);若用于结构控制[2~5],将会产生较大误差.而精细算法[6]求解定常结构动力方程精度之高,是其它时域积分法无法比拟的,其数值解可与精确解相比拟.该法不仅是相容的、收敛的,且具有良好稳定性等优良特性,所以,精细算法为结构控制系统的精细计算提供了新思路.

　　为了提高结构主动瞬时优化控制算法的计算精度,基于指数矩阵exp(Hτ)的精细算法及主动控制的基本原理,本文对精细积分下结构瞬时优化的闭环及开闭环控制算法进行了改进,并通过结构的控制仿真验证了算法的有效性.

　　1　2N类指数矩阵的精细积分算法

　　动力状态方程.v=Hv+r的求解(其中H为状态矩阵,v为解向量,r为非齐次项),关键是指数矩阵T(τ)=exp(Hτ)的计算(其中τ为时间变量).用Taylor级数法计算指数矩阵T(τ)=exp(Hτ)的不足是,要取足够多项才能达到所需精度,这在Hτ的范数Hτ∞较大时尤为困难.精细算法[6]利用指数函数的性质exp(Hτ)=[exp(Hτ)/m]m(取尺度因子m=2w),用m作用于Hτ∞,先计算exp[(Hτ)/m],再经过w次自乘,从而解决上述问题.对T的计算,有2N类算法,利用加法定理,变换T阵如下:

　　计算的关键是指数矩阵的存储只能是Ta,而不是I+Ta.因为Ta很小,当它与单位矩阵I相加时就成为其尾数,其精度在计算机舍入操作中将丧失.

　　式(3),(5)和(6)便是指数矩阵的精细算法公式,亦是算法的关键之处.

　　2　精细积分下瞬时优化控制算法的基本原理

　　瞬时最优控制算法[5]采用时间变量瞬时二次型目标函数求结构主动控制的控制力.方法是将性能指标J取为与时间相关的目标函数,在[0,tf]整个外激励作用时间的每一时步内对目标函数进行优化,求出最优控制律.受控结构在地震干扰下的运动方程转化为动力状态方程[1]

　　式中:Z(t)为动力状态向量;A为系统矩阵;B为控制器位置指示矩阵;U(t)为控制力向量;W为地震作用向量;x¨g(t)为地震激励.

　　性能指标

　　式中:Q为权矩阵(对称半正定阵),与结构安全性能有关;R为权矩阵(对称正定阵),与主动控制的经济性有关.

　　对状态方程(7)运用精细积分下的直接积分法,可得状态向量