按无量纲屈服准则分析正交异性板的极限荷载

    对均匀、非增强材料的异性板进行极限分析时多数采用简化的线性屈服准则,也有人采用过Hill屈服准则[1],但是由于在推导转轴公式时忽略了一些项次,使结果误差难于估计.文献[2, 3]在假定正交异性材料的屈服准则与各向同性材料的Huber-Mises准则同构的前提下,提出了无量纲屈服准则.文献[4]通过三种材料(20#低碳钢、纯铝L2和镁合金MB8)薄壁圆管的P-p比例加载实验,对上述两种屈服准则进行了实验验证;结果表明无论哪种材料,试验结果都更靠近无量纲屈服准则.本文依据正交异性板的无量纲屈服准则,给出了正交异性板无量纲极限荷载上限估计的一般计算方法.

    1　正交异性板的无量纲应力屈服准则及相关本构方程

　　平面应力状态(σz=0)正交异性材料的屈服准则为[2]

式中:~σ_ij=σ_ij/∑_ij,这里∑ij为正交异性材料主轴坐标系中的屈服应力.

    根据屈服准则式(1),可定义等效应力

式中:Κ为应力量纲的待定系数.当正交异性材料沿主轴坐标系单向拉伸时,由式(2)可得Κ=1.

    将屈服函数取作塑性势(注意到Κ=1),则有

式中: M_ij=M_ij/∑_ij.将式(4)代入式(3)得到以 Mij表示的薄板塑性势函数为

　　根据式(5),按塑性势理论可得在简单加载条件下正交异性板的相关本构方程为

    2　转轴公式

　　将材料的异性主轴系(x,y)顺时针转动角度φ,使新坐标轴ξ与某一塑铰线重合,则得到如下转轴公式:

    3　上限估计

　　利用破坏机构法估计载荷上限时,根据虚功原理

式中:δA·~、δU·~分别为无量纲的虚功率和内力功率.其中内力功率δU·~可根据塑铰线的弯屈功率计算,虚功功率δA·~则应视荷载特点及极限状态下薄板挠曲面的形状确定.

    实例　四边简支矩形薄板,边长为2a和2b,厚度为h,板面受到横向均布荷载q作用,已知正交异性主轴x、y、z方向的单轴应力状态的屈服应力为∑x、∑y、∑z,对应于xy平面的纯剪切屈服应力为Sxy,试求其上限载荷~q+.

　　解　设载荷达到板限时的破坏机构图如图1所示,图中曲线为塑性铰线,设塑性铰线EF沿Z轴方向的虚位移速率为δ.w,则外力虚功率为

将式(11)代入式(13),求出 Mη,进而可得出~q+的函数式求出φ0,即可求式(18)得上限荷载的极值.

　　若材料退化为各向同性材料,且a=b,则

这一结果在许多塑性力学著作中都已得到证明[5].

    4　结　论

　　按本文给出的正交异性板无量纲极限荷载上限估计的计算方法和公式计算正交异性板的上限荷载,运算简单,公式的物理意义清晰、明确,适宜工程应用.