一类弹性体的故障检测

　　据不完全资料调查,在分布参数系统理论中,对弹性体的故障检测的研究尚属鲜见,众所周知,一维Euler弹性体的数学描述为

　　本文运用最速下降法,给出了某一类(有一段位移无法量测)弹性体的故障检测的具体步骤,并给出计算实例.它具有一定的实用价值,可以给有关部门进行安全检测提供理论指导.

　　1　弹性体故障检测的具体算法

　　弹性体的横向振动,可以由式(1)来描述.

　　设某弹性体的标准参数为ptr(x),容许参数集为

式中:p-0(x)为[0,L]上有定义的已知函数.uad的含义表明该弹性体在[0,l]段处于某种介质中,不易对该段位移进行量测.给定p∈uad,由文献[1]中的定理1,可求得连续解y(x,t),0≤x≤L,0≤t≤T.为了表示y对p的连续依赖性,记y(x,t)=y(x,t;p).

　　设y在L处量测值为

　　则由文献[1]中的引理2可知,根据量测值z(t)可以确定唯一的参数p*(x)∈uad,使得z(t)=y(L,t;p*).然后将p*(x)与标准参数ptr(x)进行比较,就可以确定故障发生之处.所以,弹性体的故障检测的主要工作是确定满足式(1)和(3)的p*(x),即所谓的参数辩识问题.式(1)和式(3)的参数辩识可以转化为等价的极值问题.即在式(1)下,求p*(x)∈uad,使

式中:α为正则化参数.

　　由作者的研究有下面的引理:

　　定理1　若极值问题式(1)与式(4)存在最优参数解p*,则有

　　其中yø(p*)h是y(p)关于p在p*处沿h方向的Fr.het微分.

　　证明

　　结合式(7)与(8)得式(6).证毕.

　　定理2　若问题(1)存在最优参数p*∈uad,使(4)式取极小值,则p*与最佳状态y(p*)应满足

　　证明

　　在式(9)第一式两端同乘ya(p*)=yø(p*)(p-p*)(它们被式(5)确定),在[0,T]×[0,L]上积分,并使用分布积分,则

　　联合上述二式,便可得到

　　定理3　如果p—→J(p)是可微函数,uad有界,若p*∈uad满足

　　则对于p*的充分小的邻域U

　　证明

　　对于p*的充分小的邻域U,Pp∈uad,由Taylor公式得

　　由定理2和定理3可知,式(1)与(4)运用最速下降法求最优解时,在p(x)=p0(x)处的下降梯度方向为

　　虽然式(4)是一个无穷维空间的优化问题,但将其近似为有限维空间的优化问题后,便可使用文献[4]中的最速下降法.于是求解具体问题的步骤如下:

　　1)给定初始p0∈uad,由式(1)可解得y(x,t;p0),将p0(x)与y(x,t;p0)代入式(9),可解得W(x,t;p0).

　　2)将p0,y(x,t;p0)与W(x,t;p0)代入式(11)可解得ýJ(p0).选择适当的a>0,使p1=A2p0-AýJ(p0)∈uad,且J(p1)

　　3)对于给定充分小E1>0,E2>0,若ûJ(p1)-J(p0)û