分析输液曲管振动和稳定性的有限元法

　　输液曲管在工程中有广阔的应用,尤其是对于核电、石油、化工、海洋以及机械工程,它是常用构件。它比输液直管分析难度大,这不仅是因为描述它的运动状态需要的变量多,而且静平衡位置还与流速有关。对它的研究近几年才开始,A K Misra[1,2]等人在1988年发表的两篇文章中对输液曲管作了比较全面的讨论,提出了所谓的“非伸缩理论”和“可伸缩理论”,在分析模型上起到了重要作用。1993年,R Aithal[3]等用解析法对单跨圆弧形输液曲管进行了分析。最近,文献[4]发展了R Aithal的工作,提出迁移矩阵解法,解决了变刚度和带中间弹性支承的输液曲管临界流速问题。本文在上述工作的基础上,利用虚功原理导出了输液曲管问题的有限元格式,并提出了一个具有7自由度的特殊曲管元。对于自激振动问题,利用状态向量实现有限元方程的降阶,从而减少了计算量,方便地求出了悬臂输液曲管发生颤振失稳时的临界流速。对于动力响应问题,借助F Ma的思路[5]引入伴随系统实现了方程的解耦,从而把这类非经典系统化成单自由度问题。与文[3,4]的方法相比,本文的方法适用范围更广,可以方便地对形状、材料以及支承条件都比较复杂的输液曲管的振动和稳定性进行分析,尤其是提出的特殊曲管元,实例表明能提高精度。此外,本文对于动力响应问题的求解方法不要求有限元矩阵[M]、[G]和[K]具有对称性和正定性,特别适合求解输液曲管这类非经典系统的振动问题。

　　1　输液曲管的控制方程及边界条件

　　根据文献[3],在不考虑内、外阻尼的影响下,对于中心线不可伸缩的面内振动,输液圆弧形曲管的控制方程(无量纲形式)为

　　分别表示无量纲的切向位移、质量比、流速、时间和外载荷;w为曲管中心线上任一点的切向位移,R为曲管半径,EI为曲管的抗弯刚度,V为流速,mt和Mf分别为曲管和流体单位长度的质量,θ为曲管中心线上任一点的坐标(见图1),t为时间,q(θ,t)为作用在输液曲管上的分布载荷。

　　对于悬臂输液曲管,其边界条件为

式中N₁表示广义轴向力

　　它是根据输液曲管变分方程得到的自然边界条件(θ=α)[3]产生的;u和ψ分别为曲管中心线上任一点的径向位移和截面转角;M和Q分别为该点截面的弯矩和剪力。

　　2　输液曲管的有限元格式

　　将式(1)左边部分记为A(ξ),由虚功原理可知方程(1)和下列方程是等价的

　　其中“′”表示对θ的导数;δξ为满足约束条件的广义虚位移,它具有任意性。为了导出有限元计算格式,将曲梁元对ξ(θ)作如下插值

　式中[N(θ)]=[N₁(θ)　N₂(θ)　N₃(θ)　N₄(θ)　N₅(θ)　N₆(θ)　N₇(θ)],它是位移形函数矩阵,仅是空间坐标H的函数,为什么取7个自由度以及它们的具体形式留待后面讨论;,它是由单元两个端点(1,2点)的ξ及其一阶和二阶导数组成,同时还需补充单元中点3的ξ值,该位移矢量仅是无量纲时间S的函数,是待求未知矢量。单元节点编号如图2所示。