不同孔口形状对含孔复合材料板孔边应力状态影响的研究

　　复合材料因其卓越的比刚度和比强度以及材料性能的可设计性，在航空航天、汽车、石油化工建筑桥梁、舰船以及生物工程等领域得到了越来越广泛的应用。像其它结构一样，复合材料结构及构件也含有各种用途的孔。对于开口结构来说，特别突出的一个问题就是边界区域的孔边应力集中问题[1]。准确地求解孔周围的应力是很困难的，特别是对于一些复杂孔形。就像人们所知道的，孔口附近往往也是构件最薄弱的区域。

　　理论上，结构的开口问题与裂纹问题的求解和分析，在数学上要归结为边值问题的建立和求解[2]。对复合材料结构而言，对孔口、裂纹的边界条件的建立和处理比金属材料要复杂得多。边界条件建立得是否准确、合理，对结果的影响也很大，甚至会带来本质的区别。已有的文献主要对带有椭圆孔或圆孔的正交各向异性材料板的应力分布问题进行分析[3]，关于其它孔形的研究工作较少。在过去相当长的一段时间，研究人员几乎很少再寻找含复杂孔形复合材料板的解析解，而是用半解析解法或有限元法以及边界元法对此类问题求解[4~6]，难点就在于对于边界条件的描述非常困难，但是半解析解法仅局限于一些特定的孔形，用小参数法来对某些特定孔形进行逐步逼近[7,8]，这种方法的局限性是显而易见的。而用有限元法对孔边进行分析，由于孔边存在奇异单元，所得到的结果往往误差较大。因此，建立一套有效的对复杂孔形进行解析分析的方法就显得非常必要。文献[9]对这一领域进行了非常有益的探索，取得了一定的成果，但结果仅限于均质材料，而且，所采用的计算手段限制了该方法进一步在工程上的应用。因为，它并不能求得将大量工程中常见的孔形准确的映射为单位圆的映射函数，这样也就不能很好的解决复杂孔形的边界条件问题。

　　本文所采用的方法是将所研究的孔形直接映射为单位圆[10]，其优点是在计算过程中已包含了所研究孔形的全部信息，例如，将各边边长、各顶角弧度、半径等信息代入整个运算过程。为了对本文所介绍的方法作进一步的说明，文中对含不同孔形的复合材料板进行应力分析，得到应力解析解。并针对不同孔形对孔边应力集中系数的影响进行探讨。

　　1 各向异性平面问题

　　因为纤维增强复合材料被大量地用在薄壁支撑结构中，所以在这里首先考虑平面应力问题。在这里所分析的全部情况，可以认为对于弹性体，是适用于广义虎克定律的。如果考虑一般的各向异性的弹性体，这时不存在任何弹性对称的因素，则广义虎克定律可以表示成为：