求解一类特征值反问题的新方法

    1　方法简介

    在工程实际的振动问题中,常常需要处理特征值反问题[1],如在实验模型参数的设计问题中,要求设计的实验模型含有某些给定的值。在研究发电机组轴系扭振多重共振[2]问题时就遇到这类特征值反问题。

    考虑一n自由度的无阻尼自由振动系统

    [M]{x}+[K]{x}={0},          (1)

式中[M]为质量矩阵,[K]为刚度矩阵,{x}为位移列阵。

    对应(1)的频率方程

     [K]-ω²[M] =0        (2)

具有n个特征根,对于实际系统,不妨设ω1²<ω2²<…<ωn²,展开上式,得关于系统固有频率ω2的n次代数方程,形如

    f(ω²)=a0(ω²)ⁿ+a1(ω²)^n-1+…+an=0,          (3)

式中ai是系统的质量和刚度的函数,即

    ai=ai(m₁,m₂,…,mn,k₁,k₂,…,kn)　(i=1,2,…,n),          (4)

因为ω1^2,ω2²,…,ωn²是(3)式的n个根,由韦达定理[3],得

    上式是关于系统的质量m₁,m2,…,mn和刚度k1,k2,…,kn的非线性代数方程组,可利用数值方法求解。若已知系统的固有频率ωi(i=1,2,…,n)以及mi或ki(i=1,2,…,n)中的n个量,就可以求出其余的未知量。本文选用梯度法编制了求解此类特征值反问题的通用程序。

    2　发电机组轴系扭振模化系统数学模型

    图1为四质量发电机组转子轴系扭振的力学模型。图中发电机组转子轴系用4个集中质量来代替,其中Ii(i=1,2,3,4)表示第i个集中质量的转动惯量,Φi(i=1,2,3,4)表示第i个集中质量的扭振角,Kij(i=1,2,3;j=1,2,3,4)表示第ij段之间的扭转刚度,按图1,求出系统的动能T、势能V,引入Lagrange函数L=T-V,将其代入Lagrange方程,得

令α1=Φ1-Φ2,α2=Φ2-Φ3,α3=Φ3-Φ4,经变换,方程组(6)可以转换成关于相对扭振角αi的扭振方程

应用式(9),若已知系统的固有频率ωi(i=1,2,3)和Ii(i=1,2,3),可以确定系统的刚度。

    3　实例分析

    表1摘自文献[4],是国产某型号200 MW发电机组转子轴系扭振前6阶固有频率的计算与实测结果。

　　我国水电部和美国西屋公司都规定,发电机组轴系避免发生共振的固有频率避开率为7 Hz。由表1可以看出,此型号发电机组轴系扭振的第1,5,6阶固有频率之间及第6阶固有频率与2倍工频(100 Hz)干扰力频之间满足双重共振条件,即18.25+82.5≈102.5(组和内共振),102.5≈100(单频强迫主共振)。