薄板和三维体应变位移关系的二次完整表达式-兼评T.Von Karman方程

    1　薄板应变位移关系的二次完整表达式

    如果金属薄板的挠度超过板厚的五分之一,就应考虑由挠度引起的中面力的影响.实验指出,薄板小挠度理论算得的挠度比实测值大,而薄板大挠度理论的基本方程组之一,是中面上应变分量与位移分量间的高次关系式.

    取直角坐标系oxyz,薄板以oxy为平面的中面上应变分量与位移分量的二次微分关系中,线应变εx和εy以及剪应变γxy的二次完整表达式为:

式中, u, v, w是沿x, y, z轴方向的位移分量,此式包含了全部二次项,故称它为薄板应变位移关系的二次完整表达式.

    式(1)前两式中的更高次项见文献[1]、[2],现在只是保留到二次项的结果,例如以εx为例可以证明[1,3]:

式中,格林(Green)应变分量(也称拉格朗日应变分量)exx为

代入上式只取到全部二次项,即得式(1)中的εx式.同理,可得εy式.值得特别指出式(1)的第一式中没有而第二式中没有,这不是因为它们很小被略去而是运算中抵消所致.

    式(1)第三式的推导思路见文献[2],现推演如下:

    中面上剪应变γxy用Green应变分量表示为[2,3]:

只保留到二次项得:

式(c)仅只保留到二次项.

    将式(c)代入式(a),按级数展开,只保留到二次项得[2]:

此即式(1)第三式.

    冯.卡门采用的薄板应变位移二次表达式为[4,5]:

作为薄板的二次分析,式(2)是不完整的,因为它没有把全部二次项考虑进去.但是卡门的功绩在于略去次要项使问题简化,并进一步给出了计算大挠度薄板的卡门方程.

    例如采用式(2),可得变形协调方程式:

它消去了位移u和v,形式比较简洁.

    采用式(1)将得到:

它不能消去位移u和v,形式很累赘.

    2　三维体应变位移关系的二次完整表达式

　　对式(1)中各字母(x,y,z)和(u,v,w)采用循环替代,可得三维体应变位移关系的二次完整表达式如下:

式中, i≠j≠h=1,2,3.

    对式(4)中各字母采用循环替代,可得三维体应变位移二次完整关系用下标法(不求和)表示的变形协调方程式第一组中的三个方程式:

    对式(8)中各字母采用循环替代,可得三维体应变位移二次完整关系用下标法(不求和)表示的变形协调方程式第二组的三个方程式如下:

 i≠j≠h =1,2,3.不用跑标       (9)

　　三维体应变位移二次完整关系的变形协调方程式共六个,含式(7)和式(9),可合并写成:

　　用位移解题,变形协调方程式(10)是自然满足的.但是用应力解题变形必需满足式(10),否则变形和位移互不相容就不能用式(6)的应变求解位移.