下端固接上端弹性支承变截面压杆的屈曲

　　一端固定，另一端弹性支承的变截面压杆的失稳形式，为较常见的限制失稳形式，取其弹簧的刚度为k得到如下平衡方程:

　　将式(3)化为贝塞尔议程方程，为此首先引进函数V(x)，它与挠度y(x)的关系为：(2)得挠曲线的微分方程为:

　　根据贝塞尔函数的性质，对于任何的实数γ，式(6)的通解为:

而式(2)非齐次方程还需寻找一个特解，取式(2)的特解为

故式(2)的通解为:

　　由式(7) ,(8)组成的方程组，有异于零的解，其系数行列式必等于零，可以得到临界荷载的条件.下面将研究截面为圆形的变截面失稳.

　　对于给定的a,l，将代入式(12)，解超越方程同样可以求得一端固定、一端弹性支承的变截面压杆

　　对于弹簧刚度取不同的值，式(13)可得到不同的临界荷载.令弹簧的刚度代入式(13)中可得:

　　当=0时，上例变为一端固定，一端自由的悬臂变截面压杆，式(14)整理后得到如下形式:

　　对于式(15)，可采用牛顿迭代或在matlab中图像求交点法计算，下面采用图像法.令函数

不同的λ对应不同的临界荷载，如λ=0. 1时，所求的x值如下图所示:

　　从图1及图2可知,λ=0. 1时，x的最小值为3. 470 2，其系数m=1. 220.当λ=0.2时，x=2.743，系数m=0.620,同理当λ为其它的值时的临界荷载见表1.

　　从表1中可知，当λ一1时，临界荷载系数m一 0. 25，即一端固定的等截面压杆的系数。

　　当时，此时为一端固定，一端铰支的限制失稳问题.即方程为

对该超越方程同样在。matlab中采用图像求交点法，样不同的λ得到不同的系数m，见下表2。

　　从表2可知，当λ一1时，系数m一2. 0408，即一端固定一端铰支的等截面压杆限制失稳时的系数.

　　当时，解式(14)超越方程，可采用牛顿迭法、函数求交点法、摄动法等.对于给定的一个价和λ值，可以求得一个系数m，见表3.

　　由表3及图3可知，对于同一个λ，当弹簧刚度系数增大时，系数m也随之增大，趋于一端固定，一端铰支时的系数m，即趋近于表2中的数值;减少时，趋近于表1中一端固定的变截面压杆时的系数m.

　　参考文献:

　　1)刘鸿文.高等材料力学[MJ.北京:高等教育出版社，1985

　　2)刘光栋.杆系结构稳定【M].北京:人民交通出版社，1988

　　3)严镇军.数学物理方程[M].北京:中国科学出版社，2004