位移型板单元内力解的杂交化后处理

　　1 引言

　　传统的位移型有限元由最小势能原理出发 从假设单元位移场或应变场入手 内力或应力解是由本构方程获得 其优点是推导过程相对简单 位移结果比较精确 但是由于应力是位移的导数 所以由本构方程得到的应力解的误差较位移解放大了一个量级 这使得应力结果的精度和收敛性相对于位移结果要差一些杂交/混合型有限元是由修正的Hu-Washisu多变量变分原理出发 假设位移场(或应变场)和应力场(或内力场) 其优点是应力结果比较精确 但同时缺点也非常明显 单元刚度矩阵的形成比较复杂 需要多次求逆过程和凝聚过程 而且位移结果通常不如位移型单元的结果

　　在复合材料层合板壳的有限单元法中 由于传统的位移型单元预测应力 特别是预测十分重要的横向剪应力的能力较差 人们一般应用杂交/混合型有限元来对层合系统进行较为精确的应力分析 但杂交/混合型有限元复杂列式又影响了工作效率文[1]就提高单元应力提出了一个新的思路 首先 假设单元位移场 按位移型有限元标准程序求得单元位移解 其次 假设单元应力场 由最小余能原理建立应力与位移的关系 第三 将第一步所得的位移解代入第二步得到的关系式 求解应力 数值算例表明经过上述过程处理的单元应力 其精度有不同程度的提高 文[1]把这种构造过程的单元称为 嫁接元 即实现位移单元和应力单元优点 嫁接 而成的单元基于上述思想的启发 本文将提出一种新的杂交后处理方法对位移型板单元的内力进行重算 以此方法改善单元内力解 其步骤如下

　　(i) 首先由位移型板元求出单元结点位移

　　(ii) 假设满足平衡方程的单元内力场 引入新的待定参数 连同步骤(i)中得到的各种应变矩阵代入板的杂交能量泛函中 利用驻值原理求解新参数与单元位移之间的关系式

　　(iii) 将步骤(i)中得到的单元位移代入步骤(ii)所得到的关系式 求解单元应力

　　2 四边形板单元内力的杂交化后处理

　　杂交板元的离散型泛函可写为如下形式[3]

　　杂交板元的离散型泛函可写为如下形式[3]其内力的杂交化处理过程与四边形单元的杂交化处理过程基本相同 只需将式(4)改为：

　　4 数值算例

　　利用杂交化后处理方法对文[4] [10]中三角形厚薄板通用单元TCGC-T9 TMT和文[5] [6]四边形厚薄板通用单元TACQ和TMQ进行内力重算 内力改进的单元分别记为TCGC-T9M TMTM TACQM和TMQM

　　例1 计算受均布横向荷载作用的固支圆板(如图1所示) 计算结果列于表1 表2 图2和图3。

　　表 1 和 图 2 分 别 给 出 和 绘 出 了 单 元TCGC-T9两种不同方法得到厚板(h/R=0.2)情况下的沿半径法向和切向弯矩分布图 可以看到原算法在板边缘较大的计算误差得到了根