大型稀疏连续体结构的多目标拓扑优化设计

　　目前,结构拓扑优化设计技术[1]主要以单目标优化问题作为研究对象,对多目标拓扑优化设计问题的研究相对较少.但是在工程优化领域,存在着大量问题需要考虑多目标优化问题[2].以静力学中的多刚度和动力学中的特征值同时作为优化目标是典型的多目标结构拓扑优化问题[3].很多方法可用来求解传统的多目标优化设计问题[4],但真正能够求解大型稀疏连续体多目标拓扑优化设计问题的优化策略和方法并不多,因为连续体拓扑优化中一般含有大量的设计变量,传统的多目标优化方法很难有效求解.

　　在静力学和动力学的多目标拓扑优化设计问题中,常见的优化目标函数分别为结构的柔度最小化和特征值最大化,柔度最小化会影响到结构特征值的最大化,反之,特征值最大化同样会影响结构整体柔度的最小化.文献[5]用基因算法研究了结构的多目标拓扑优化设计,但对于真正的连续结构很难用基因算法有效求解.文献[6]研究了板壳结构的多目标拓扑优化设计问题.事实上,对于大型稀疏连续体结构的拓扑优化问题,目前研究较少.连续体结构的拓扑优化设计问题本质上是一种0-1离散变量的大规模整数规划问题.为避免直接求解该离散问题引起的设计变量组合爆炸困难,常采用变量松弛技术.常采用所谓变密度法中的SIMP密度刚度插值模型[7],将原优化问题转化为一个连续变量的优化问题,从而可以用连续变量的数学规划方法求解.为了正则化松弛以后的优化问题,常结合一些其他的技术[8]使优化问题正定.本文采用一种简单实用的二重敏度过滤技术[9]来消除优化问题的奇异性[10],如期盘格式和网格依赖性问题等.

　　鉴于此,本文基于SIMP插值模型和MMA凸规划方法,结合二重敏度过滤技术,用一种指数形式的多目标函数形式来构造多目标拓扑优化问题的等效目标函数,用数学规划方法中的凸规划方法求解数学模型,以得到满足要求的多目标优化问题的有效解.

　　1 连续体结构的多目标拓扑优化

　　优化设计模型包括设计变量、目标函数、约束函数的选定过程.本文以静力学刚度优化问题和动力学自由振动问题同时作为优化的两个目标函数,以结构整体的体积约束作为优化的约束条件,以单元的相对密度作为设计变量,形成结构多目标拓扑优化设计问题的数学模型:

　　其中:C(X)表示静力学多刚度拓扑优化的目标函数;D(X)表示动力学特征值拓扑优化的目标函数.?X>0为目标函数的权重;x表示单元密度;n是设计变量的数目;最小密度xmin=0101防止数值计算中刚度矩阵奇异;?V为允许使用的材料体积数.

　　1.1 连续体结构的静力学拓扑优化

　　对于静力学多刚度优化问题,为了使结构发挥最大的承载能力,本文以各载荷下结构的柔度最小化作为相应载荷下的目标函数,基于带权重的折中规划法[9]求解多工况载荷下的优化问题.采用SIMP模型,提出并建立结构静力学多刚度拓扑优化设计的数学模型: