偶应力理论层合梁的稳定性及尺度效应

    当尺金属材料寸进入微密量级时，许多试验证实［1 －2］试验得到刚度较按传统理论分析的结果明显增大，这种现象被称为尺度效应。传统的弹性力学理论不考虑材料的微观结构，所以无法对这种尺度效应给出解释。

    为了解释这一现象，为之发展的细观理论主要有偶应力理论和应变梯度理论。

    关于偶应力理论研究工作有，60 年代的Toupin［3］，Koiter［4］，Mindlin［5］( 含 1 个观材料长度参数) ，Neuber H［6］( 含 4 个细观材料长度参数) 等。近期有 Fleck-Hutchinso［7］等( 含 1 个细观材料长度参数) 提出的偶应力理论和 Yang等［8］提出的修正对称偶应力理论( 含 1 个细观材料长度参数) 。

    2000 年以来，有许多关于细观尺度的板的理论研究，此间建立的偶应力板模型都是建立在转角—位移为独立变量的 Cosserat 型偶应力理论( 可称为 C0 理论) ，C0 理论至少包含两个细观尺度材料长度参数。对此，Johannes 等［9］给出了详细的评论。

    建立偶应力板梁工程近似理论可以适当引入假定，因此，只含一个细观材料长度参数的应变对称的修正的偶应力理论备受重视［8］。这类研究工作近期刚刚开始。例如，2006 年 Park 和 Gao［10］首先开展偶应力工程理论研究，建立了 Bernoulli-Euler梁模型，随后 Ma 等建立了偶应力 Timoshenko 梁模型［11］，Tsiatas 首先开展板的偶应力理论研究，建立了偶应力 Kirchhoff 板模型［12］。最近，Li 等直接将文［12］的偶应力 Kirchhoff 方程用于振动分析［13］

。Jomehzadeh 等基于修正偶应力理论研究了细观尺度板的振动尺度效应［14］。Ma 等基于修正偶应力理论建立了细观尺度的 Mindlin 板模型［15］。修正的偶应力理论属于各向同性理论，上述基于这个偶应力理论都是在建立各项同性的偶应力梁、板模型。

    最近，基于修正偶应力理论，陈万吉等人提出了一种新的一阶剪切变形复合薄梁模型进行弯曲分析，并用数值结果证明了该一阶剪切变形复合薄梁模型能够捕捉到微观结构的尺度效应现象［16］。

    本文根据修正偶应力理论及虚功原理，建立复合材料层合梁的稳定性模型并用于尺度效应分析。

    1 修正偶应力理论

    与经典的偶应力理论不同，Yang( 杨帆) 等［8］于 2002 年提出修正偶应力理论，修正偶应力理论的应变能表示为:

其中，σ_ij、ε_ij分别表示应力和应变张量，m_ij、χ_ij表示偶应力内力矩和曲率张量。应变张量的偶应力曲率张量χ_ij是对称的，即 χi_j= χ_ji。ε_ij是对称的( ε_ij= ε_ji) 。在式( 2) 中，λ 和 μ 是材料的弹性系数，1 是材料的细观长度参数，δ_ij是克罗内克符号，u 是位移向量，ω 是转动向量，