用GM屈服准则解析薄壁筒和球壳的极限载荷

    摘　　　要:首次将GM(几何中线)屈服准则应用于内压薄壁圆筒和球壳的塑性极限分析,获得了解析解·薄壁筒和球壳极限载荷均为壁厚、内径及材料屈服极限的函数·屈服极限越高、壁厚越大,内径越小,极限载荷越大·与Mises准则、双剪应力准则(TSS)和Tresca准则相比,GM准则解居于TSS和Tresca解之间且靠近Mises解,恰好对应误差三角形中线·按GM准则计算的极限载荷随厚径比的增加而线性增加·

    在工程实际中,圆筒和球壳具有非常广泛的应用,如充压气瓶与传动筒缸体、压力容器、高压管道等·近年来,薄壁圆筒和球壳结构成为港口及近海工程中发展起来的一种新型结构,在我国沿海地区得到了广泛应用[1-2]·对这类结构的极限分析目前多采用Tresca屈服准则,但由于其忽略了间主应力σ2的影响,计算结果误差较大;而Mises准则虽然考虑了σ2,但常局限于自身的非线性,不易得到解析解[3-5]·本文首次用考虑了σ2影响的GM线性屈服准则分析该类结构的极限载荷,旨在扩大线性屈服准则的应用范围,并与传统屈服准则求解结果进行比较·

    1　GM屈服准则

    如图1所示,在π平面上,取Tresca与双剪应力(TSS)屈服轨迹间误差三角形的几何中线为新的屈服轨迹,其在等倾应力空间上的方程,称为几何中线屈服准则,简称GM屈服准则[6]·设主应力σ1≥σ2≥σ3,其数学表达式为[7]

    该准则在π平面上的屈服轨迹为与Mises圆相交的等边非等角十二边形[7],如图1所示·

    2　GM屈服准则求解极限载荷

    2.1　薄壁圆筒

    如图2所示,承受内压的薄壁圆筒,内径为d,壁厚为t,t远小于d(t≤d/20),内压的压强为p·取出圆筒中一微元体,其受力情况如图3所示·

    圆筒底面面积A=πdt,筒底总压力F=pπd2/4,横截面上正应力(拉应力)

    设圆筒长度为l,作用在圆筒上的周向正应力σθ(拉应力)可由力平衡方程得到:

    p垂直于圆筒内壁,在筒壁上引起径向压应力σr,σr在内壁处最大,其值为

    由于筒壁很薄,故可以认为在整个径向上的σr一致,故取

     σ_r=-p·    (4)

    综合上述分析,薄壁材料处两拉一压的三向应力状态,σx=σθ/2·若σ1≥σ2≥σ3,则

   σ₁=σ_θ,σ₂=σ_x,σ₃=σr·(5)