两变量都有误差时直线回归方程求取方法新探

　　目前在使用最小二乘法求取回归方程的问题中，一般假设测量误差集中于一个变量，而认为另一个变量的测量是无误差的。例如要求取金属导体的电阻值与温度之间的关系

　　使用一组温度一电阻的对应测量数据(界，R;)(i一1，2，…，N)，由于T‘与R;均为测量数据，所以其中不可避免地都存在误差，但在许多情况下求取直线方程(l)时，均设温度测量值没有误差。然而有时根据两变量误差大小的对比，不能将其中之一;翻各，否则，会直接影响回归方程的求取精度。

　　目前，解决两个变量都有误差情况下的回归问题较精确的方法是戴明解法「，〕，它将最小二乘条件由观测点到直线的纵坐标距离的平方和最小改变为垂直距离的平方和最小，这样就兼顾了两个方向的误差。但戴明解法的计算过程较复杂，故不常用。本文提出一种新的方法解决这一问题，它利用两变量误差间的比例关系，确定回归直线的位置和回归方程的形式。计算结果证明，应用这一方法所得到的结论与戴明解法基本一致。

　　一、戴明(Deming)解法

　　设回归方程的形式为y一a。+二，x与y的对应测量数据(x，，少、)(i=1，2，…，N)，此时x与y的测量误差戈、戈均不可忽略，且分别服从标准差为民、戈的正态分布。x、y、乙和凡均与直接测量数据单位一致。

　　首先对回归方程进行等精度化，设

　　回归方程两边同乘以份一丁，有

　　令气/丁·y一犷，凡/丁“一al，偌万a。一。0’，则式(3)方程变为

　　由单位权化的定义r1j可知，了与x等精度。同时，对测量数据进行等精度化。

　　根据戴明解法的要求，写出点(x‘，苏)到直线的垂直距离司的表达式(见图1):

　　万司2的极小值点落在一阶导数为零的点

　　解式(6)，可得到

　　可见直线通过均值(王，夕)点，式中

　　二、由两变量误差的比例关系求回归方程

　　假设变量x无误差，由最小二乘条件艺,} zY一艺

　　若同时考虑两个方向的误差，则回归方程应介于上述两条直线之间。如果凡一凡，则回归直线位于两条直线的角平分线位置;若民>戈，则所求直线应偏向直线y~b。+厉;反之，若凡<凡，则应偏向于直线夕一。+a。，其偏向的角度大小与凡、凡的相对数值有关。

　　设两条边界直线y一b。十b全与夕一a。+。，二的夹角为a，则a应等于

　　并设所求直线与直线y一b房+b。的夹角为a;，那么与直线夕一a。+ax的夹角为。一a，。可以看出，心相当于凡而言愈大，则a，值愈大，反之亦然，所以有