近似数简单运算的误差分析

　　1.引言

　　实际工程物理量一般是由计量观测所确定,都不可避免地存在误差,即计量值是一代表真值的近似数。近似数所附带的误差同样也是近似的。获取物理量的近似值是实际工程工作的基础。在获取物理量的近似值后往往还需要对其进行一系列数据处理。数据处理的结果亦为近似数。实际数据处理时,在保证能达到所要求的近似数的精度的前提下,应按照数据处理规则进行必要的合理简化。数据处理规则是建立在对数据运算的理论研究的基础上的,其中近似数的简单运算的误差的研究是最为基础的,由其相应结论可给出有效数的运算规则。

　　2.简单运算的误差

　　这里所论及的简单运算是指近似数的加法与减法运算。设ai为物理量Ai(i =1,2,…,n)的近似数,其绝对误差与相对误差分别为

　　2.1加法运算的误差

　　设上述n个物理量及其近似数作加法运算,结果分别为A = ni=1Ai及a = n

　　(1)加法运算的绝对误差

　　加法运算的绝对误差为

　　又设m为与|Δ0|=max{|Δi|1 i n}对应的近似数a0的小数位数,则因近似数的误差不超过其末位数的半个单位,即|Δ0| |Δ0|max=12×10-m,故加法运算的绝对误差的估计式为

　　特别地,当n 10时,

　　(2)加法运算的相对误差

　　对于加法运算而言,由(3)式知,其和的相对误差 =ΔA的估计式为

　　2.2减法运算的误差

　　减法运算可视为加法运算的特例。两个量(n =2)作减法运算时,设差为A = A1-A2,a = a1-a2则其对应的绝对误差与相对误差估计式分别为

　　3.简单运算时数据的处理

　　3.1简单运算时数据小数位数的确定原则

　　将减法运算视为加法运算的特例时,(3)式与(4)式具有普遍意义。由于ai(i =1,2,…,n)中小数位数最小者的绝对误差界最大,因而小数位数最少者即为a0。由此可得结论:近似数作简单运算时,运算结果的绝对误差不超过各相加近似数的绝对误差界之和。当参与运算项不超过10时,其运算结果所应保留的小数位数比各参与运算的近似数中小数位数最少的可能少一位或相同。

　　3.2加法运算的相对误差的处理

　　在实际计量工作中,由于物理量的真值往往不可知,进行数据处理时常采用以其计量值a替代真值A的做法。但在加法运算中常会发生相对误差增大的情况,因而不可盲目采用这种做法。例如,将A1=-0.0012与A2=0.0016修约至千分位得近似数a1=-0.001与a2=0.0 0 2,绝对误差分别为Δ1=0.0002与Δ2=0.0004,相对误差分别为 1=-16与 2=14,对加法运算有A =0.0004,a =0.001,Δ=0.0006, =32。由于1| A |(| A1 1|+| A2 2|) =32,1| a |(| a1 1|+| a2 2|) =23,因此