基于矩阵传递的液压缸稳定性分析及参数优化

　　0 引言

　　液压缸是机械设备中常用的执行元件，当承受的轴向力达到临界时会发生失稳，使构件失效，导致突发性坍塌. 因此，确定许用临界载荷，抗失稳设计是液压缸设计的必要内容. 国内外有关学者对液压缸稳定性进行了很多有价值的分析.林荣川^[1]通过小扰度曲线微分方程推导出液压缸临界载荷普遍方程，王世忠等^[2]利用Hamilton 原理导出了分段表示的运动微分方程，引入状态变量确定了液压缸的不稳定区域和稳定性区域，陈世其等^[3]利用Lagrange 方程、郭铁桥^[4]用能量法、Tobias I 等^[5]用概率法近似计算变截面压杆的临界载荷取得丰硕成果. 液压缸工况复杂多变，约束条件如果发生变化，则上述方法存在计算繁琐或者误差较大问题. 如果把液压缸各段视为细长压杆，其变形量中的挠度和转角，受力状态中的弯矩和剪力都分别表示为一个二维状态向量，可建立状态向量微分方程，通过各单元传递矩阵的相乘，获得受压杆段两端状态向量的关系，再根据边界约束条件，可求得液压缸临界载荷的普遍方程.

　　1 液压缸稳定问题的特征方程

　　图1 为液压缸受力示意图，活塞杆可视为整体压杆.p 为缸筒端盖受到高压液压油作用的轴向压力，N 为液压油受压后对液压缸底部和活塞产生的作用力，与铰支座的轴向反力构成作用与反作用力关系，所以缸筒本身不受压力作用，处于拉伸状态，任意截面的弯矩为零. L₁为活塞杆长度，L₂为液压缸筒长度，L 为液压缸总长度，但液压缸整体失稳时，缸筒也存在转角和挠度变形，考虑到液压缸筒的变形以及对活塞杆变形的约束，把液压缸视为整体压杆，采用阶梯状压杆力学模型来校核其稳定性.

　　1. 1 液压缸受压的状态向量普遍方程

　　把液压缸各段看成均质等值杆，轴向压力为p，长度l，抗弯刚度 EI，活塞杆横截面处的挠度y、转角θ、弯矩M 及剪力Q 如图2 所示. 其截面状态向量为: [y θ M Q]，上端状态向量表示为[y( i)θ( i) M( i) Q( i) ]，下端状态向量表示为[y( i + 1) θ( i + 1) M( i + 1) Q( i + 1) ].

　　根据轴向受压阶梯折算法^[6]，屈曲挠度可以表达为: [y( i + 1) θ( i + 1) M( i + 1) Q( i + 1) ]=T[y( i) θ( i) M( i) Q( i) ]，其中T 为4 × 4 传递函数矩阵，则传递矩阵为:

　　其中t_ij为矩阵单元. 根据文献[7]，在图2 中，任一断面x 处的挠度y、转角θ、弯矩M 及剪力Q，满足方程:

　　也满足微分方程

　　令k²= p / ( EI) ，方程( 2) ，方程( 3) 组成线性代数通解方程组为: