瑞利-泰勒不稳定性线性增长的密度梯度致稳

　　为了降低惯性约束聚变(ICF)点火驱动器能量和造价,需要对聚变DT燃料进行高压缩,瑞利-泰勒(R-T)不稳定性[1-5]是限制DT燃料高压缩和点火的关键因素。目前ICF点火靶设计中,主要采用增加烧蚀层预热、增大不稳定界面的密度梯度定标长度、降低内爆加速阶段烧蚀面R-T不稳定性的增长等措施[5-8]。在ICF内爆的减缩阶段,密度梯度致稳是点火热斑和冷DT主燃料界面R-T不稳定性致稳的主要因素[9-10]。另外,在ICF双壳点火靶设计中,通过增加过渡层的方法增大内界面密度梯度,能抑制由R-T不稳定性引起的湍流混合[11]。近来的激光直接驱动烧蚀R-T不稳定性实验中,在烧蚀层CH中掺适度比分Br、增大烧蚀层X光预热和密度梯度致稳,使R-T不稳定性扰动增长明显变小[12]。因此,理解R-T不稳定性的密度梯度致稳是ICF研究的重要内容。

　　经典瑞利-泰勒不稳定性模型研究接触间断面的不稳定性扰动增长,假定的密度分布是阶梯函数形式。而实际情况下,两种不同密度的流体接触层有一定的宽度,密度分布可以有平滑的过渡,这样的流体力学不稳定性增长率小于经典值并存在上限,称为密度梯度致稳。K.O.Mikaelian采用分层的办法将连续分布转化为多层界面的阶梯分布[13-14]。1988年,D.H.Munro采用变分方法研究密度梯度致稳问题,将线性增长率表示为密度分布和垂直位移的泛函[15]。1991年,H.J.Kull的报告[16]给出连续极限下多层界面RTI特征值问题的标准形式即钱得拉塞卡(Chandrasekhar)方程[3]。本文从钱得拉塞卡方程出发,推导出扰动增长率泛函,再用有限元算法得到不同密度分布的扰动增长率特征值谱数值结果,并与现行常用的估计RTI增长率的修正Lindl公式[5-6,17]计算结果进行比较。

式中:ρ为流体密度;u= (u,v)为2维情况下的流体速度;p为流体压力;g为加速度。假定初始流体处于静力学平衡,在小扰动作用下平衡破坏并开始运动。

　　采用微扰展开方法对方程线性化,即令其中:ε是小参数,u水平速度;v垂直速度;上标0,1分别代表其零阶、一阶扰动量,代入方程(1),得到各阶量满足的方程

为初始密度分布;g=-gez为垂向加速度,ez为z方向的单位矢量;则dzp(0)=-ρ(0)g对应静力学平衡。

　　将式(3)先消去水平速度及密度扰动,再消去压力扰动,得到一个包含垂直速度v(1)和初始密度分布ρ(0)(z)的方程。假定解的形式为v(1)=~v(z)exp(ikx+γt),其中:k是水平方向的扰动波数;γ是扰动增长率,~v(z)代表速度扰动幅值分布。得到钱德拉塞卡方程

式(4)是一个二阶常微分方程的边值问题,还可以视为一个斯图姆-刘维尔本征方程。本文采用有限元算法求它的数值解,先求与此方程等价的泛函,将边值问题转化为一个变分问题来研究。式(4)两端同乘以~v(z),有