曲面测量方法研究

　　在机械零件设计和外形设计中经常会遇到一些由二次曲线曲面和自由型曲线曲面混合表示的形状,它既包含自由型曲面,也包含二次曲面或由横向框截面的组合二次曲线与纵向自由型样条曲线混合表示而成。B-样条曲线在表示与设计自由型曲线曲面形状时起了重要作用。然而在表示与设计一些初等曲面时却遇到了麻烦,B-样条曲线不能精确表示除抛物线外的二次曲线弧;B-样条曲面也不能精确表示除抛物面外的二次曲面:只能给出近似表示[1]。这不仅使简单问题复杂化,还会带来额外的设计误差。为了精确表示二次曲线与二次曲面,就不得不采用另外数学方法,导致一个零件的几何设计采用多种数学方法,给设计、制造和测量增加了难度。

　　1　曲面的数学模型

　　国际标准化组织(ISO)于1991年颁布的关于工业产品数据交换的STEP国际标准,将NURBS(non-uniform rational B-spline)方法作为定义工业产品几何形状的标准数学描述方法,从而使NURBS方法成为曲面造型技术发展的基础[2]。

　　NURBS方法是非有理B-样条方法在三维空间的直接推广,多数非有理B-样条曲线、曲面的性质及其相应算法也适用于NURBS曲线、曲面,其优点是,可以精确地表示二次规则曲线和曲面,从而能用统一的数学形式表示规则曲面与自由曲面,因此在CAD/CAM以及图形设计、几何造型等领域中有着广泛的应用前景。它为标准曲面和任意形状的曲面提供了统一的数学形式,在仿射变换、投影变换以及剪切变换下保持不变。NURBS已成为一种有力的几何工具可以用来设计、分析、处理曲面。

　　NURBS与Coons、Bezier、Cardinal曲线曲面和B样条曲线曲面相比,更具有一般性。Coons、Bezier、Cardinal曲线曲面和B样条曲线曲面仅仅是NURBS的特例,它们的次数一般都限制在3或3次以下。另外,在实际应用中,它们通常是由许多曲面碎片拼接组成的,每个碎片的形状由16个控制网点来控制。在设计这些曲面时,要考虑各碎片之间的光滑连接。NURBS曲面对次数没有限制,这就使曲面的分析和几何性质更好,利用两个方向上的节点矢量、控制网点、权值,可以更方便地控制曲面的形状。

　　曲面的数学定义:NURBS曲面由双参数变量分段有理多项式定义,其数学表达式为[2]:

　　{Bi,k(u)}nui=0和+{Bj,l(v)}nvj=0分别是u-向和v-向的规格化的B-样条基函数,它们可由u-向的节点的集合ξ= {ξi}nu+ku+1i=0和v-向的节点的集合ζ= {ζj}nv+kv+1j=0唯一确定。

　　2　测量方法机理

　　CMM是接触式数字化测量的典型设备,通过采样来进行测量,具有较高的测量精度,其测量精度一般都可以满足加工要求[3]。目前各国航空工业使用的测量设备主要是精度较高的CMM三坐标测量机。对于采到的点可以肯定地判断是否在公差允许的范围内,但是对于未采到的点却不能。这样一来,虽然采到的点全部在公差允许的范围之内,但据此并不能保证未采到的点也在公差允许的范围之内。而且采样点数量及分布的不同往往会有不同测量结果,特别是对于自由曲面这一问题显得尤为突出。然而要对整个曲面进行扫描并且测量曲面上的所有点是不可能的。因此,通过对曲面形成理论的分析,应当建立一个适当的检测点样本,包括样本大小及样本点分布。对样本的要求是:首先要满足质量保证的要求,同时样本要尽可能小。