三维坐标中测量曲面的定位

　　1　引　言

　　三坐标测量机是实现“空间坐标”测量的重要工具。直角坐标测量机由三个相互正交的移动导轨组成,这种坐标测量机不仅有较大的测量空间,还可以测量复杂的曲面。用三坐标测量机可测得曲面上任意点在空间的位置,若直接根据这些点的数据来判断一个曲面是否合格,需将测量坐标系与理论坐标系完全重合方可得到精确度高的评定值,所以坐标系的对准难度高。

　　本文采用最小二乘法,将实际曲面与标准曲面进行拟合,计算出曲面在空间的真实位置,使得测量时无须对测量坐标系进行严格调整。其简易实验装置如图1所示。

　　这里有两个坐标系,即设计坐标系xyz和工件加工坐标系x′y′z′。最初测量点的坐标值是在设计坐标系xyz中,经过多次迭代计算后得到在x′y′z′坐标系中的值,曲面上特征点的位置变化由两部分组成,即加工坐标系原点相对于设计坐标系原点的平移量Δx,Δy,Δz和加工坐标系绕设计坐标系x,y,z轴的旋转角θx,θy,θz引起的位置变化两部分组成。两坐标系之间的关系(见图2)为:(R为旋转矩阵)

　　1.1　最小二乘法的基本思想

　　最小二乘原理给出了一种标志拟合情况好坏的准则,即点到曲面的距离平方和为最小。虽然每个实测数据与设计数据存在不可避免的误差,误差形成的主要原因是:(1)原件的加工误差;(2)测量时的误差。由于加工误差不能消除,我们只能减少测量误差fi(x),我们希望测量误差的平方和能达到最小,即

　　由泰勒级数展开定理可知,fi(x)在某已知点(x0)领域可展开成如下形式的n阶泰勒级数:

　　式中Rn为n阶以上的高阶项,为减少计算量,展开时只取线性项,即舍去二次以上的高阶项。即有

　　通过求极值的方法总可以找到一组解使(2)式左端的剩余象差的平方和为最小。根据多元函数极值理论,函数极值点的必要条件是一阶偏导数为零,即

　　为保证求得的结果充分接近最小二乘估计,可采用逐次迭代计算,即由待求量的初始近似值ΔX0出发,按上述方法求得一级初始近似值ΔX1,重复以上过程,直到第k次迭代与第k-1次迭代满足:

　　ε为预先指定的精度,一般取0.000001。根据已求得的ΔX1,ΔX2,…ΔXk,利用坐标变换公式求出坐标原点及坐标轴经过多次平移和旋转后的值,即为所要求的解ΔX,ΔY,ΔZ,θx,θy。

　　1.2　应用实例

　　曲面为抛物面,其方程为其中f是焦距。由于方程是以z为旋转对称轴的,所以计算时可不必考虑z的旋转量,从而6个自由度降为5个自由度。计算步骤如下:

　　(1)读入测量点的坐标Xi,Yi,Zi　　　i=1,2,…N