基于多重多级动力子结构的Lanczos算法

    随着工程技术的飞速发展，结构系统越来越庞大，越来越复杂，如飞机、大型轮船、高层建筑、大型机械和各种航天器。在分析计算大型复杂结构的动力特性和动力响应时，有限元离散化所得到的系统自由度是成千上万阶，有时甚至高达几十万阶、几百万阶。对于这种庞大的多自由度系统，用传统的求解特征值方法求解是十分困难的，甚至是不可能的。子结构方法是计算大型复杂结构动态特性十分有效的方法。

    对于广义特征值问题［K］{ φ} = λ［M］{ φ} 的求解，经典的子结构方法如模态综合法［1］，计算精度的好坏直接由选取的位移表达式即假设模态决定。界面位移凝聚法［2］是通过对子结构刚度阵和质量阵凝聚处理，达到降阶目的。胡海昌［3］利用解析的模态分析方法构造了约束界面模态综合法。邱吉宝等［4］采用半解析法提出了三类精确动态子结构方法。而对于一般广义特征值问题的求解，里兹向量法、子空间迭代法［5］、Lanczos 算法［6］都是很实用的近似解法。喻永声等［7］提出利用动态子结构周游技术实现子空间迭代，求解大型结构的广义特征值方程，并取得较好的计算精度，但其需要迭代收敛判断; 文献［8］提出利用子结构凝聚实现 Lanczos 算法的反迭代过程，实际上其求解仍然是在整体结构中进行。

    Lanczos 算法被认为是求解大型矩阵特征值问题的一种最有效的算法，由截断 Lanczos 过程产生的Lanczos 矢量空间能有效地逼近结构离散化模型的低维状态空间［9］，从而利用 Lanczos 矢量矩阵对数学模型进行降阶，求解结构低阶特征值。本文提出一种将多重多级子结构技术和 Lanczos 算法结合的方法。在子结构 Lanczos 迭代过程中，分别对每个子结构求解正交化系数和归一化系数，然后累加形成总体正交化系数和归一化系数，形成最终的三对角矩阵。数值算例结果表明该方法具有很高的计算效率和精度。

    本文提出的基于多重多级子结构动力特征值分析的 Lanczos 算法已在具有自主版权的 CAE 软件 JIGFEX中实现。

    1 多重多级子结构的 Lanczos 方法

    对于广义特征值方程:

    ［K］{ φ} = λ［M］{ φ} ( 1)

其中［K］和［M］分别为结构的刚度矩阵和质量矩阵。文献［7］提出了一种基于多重子结构的子空间迭代法，利用子结构周游树技术实现子空间迭代。本文利用文献中提到的子结构方法，实现基于多重子结构的 Lanc-zos 方法，计算效率较之于前者取得很大的进步。

    Lanczos 算法本质与子空间迭代法类似，都属于向量反迭代法和 Rayleigh － Ritz 法相结合的一种方法，但它结合得巧妙，使计算过程大大简化。其基本思想主要包括三步: 反迭代、正交化和模归一化处理。本文主要是利用多重多级子结构周游树技术实现这三部分，并求解方程( 1) 。