最小二乘法在空间直线度检测中的应用

　　0 引言

　　根据国家标准GB/T1182-1996,任意方向直线度误差是包容实际轴线最小圆柱面的直径.空间直线度误差的评定方法有:简易算法、两端点 连线法、最小包容四棱柱法、最小包容区域法.通常评定空间直线度误差的数学模型维数高(5维),且为非线性模型,计算难度较大,如采用其他常用算法存在计 算量大、运算复杂、运算时间长等不足.而最小二乘评定法计算简单、运算速度快、便于运用,因此在相对比较测量法的深孔直线度测量系统中,作者应用最小二乘 法得出各测量截面的最小二乘圆的圆心坐标及最小二乘直线与XOY坐标平面交点和其方向数,最后评定出空间直线度.

　　1 最小二乘评定法

　　采用最小二乘评定法来评定空间直线度误差时,是采用最小二乘轴线代替最小的理想圆柱体的轴线.由最小二乘原理得:实际轴线上各点到最小二乘轴线 的距离不等,它们之中总有一个点到最小二乘轴线的距离为最大,以这个最大距离为半径,以最小二乘轴线为轴线作理想圆柱,该理想圆柱的直径就是轴线直线度误 差.

　　由此可见,实际轴线的直线度误差是实际轴线上距离最小二乘轴线最远的点到最小二乘轴线距离的2倍,其数学模型如图1所示.将被测零件置于空间直 角坐标系O-XYZ中,且令OZ坐标轴为采样时的回转轴线,在垂直于OZ轴且彼此等距的正截面轮廓上等角度间隔地离散采样,采样数据为 Pij(Δrij,Hij,zi) (j=1,2,,,m;i=1,2,,,n),其中Δrij为各采样点的半径增量,Hij为各采样点处于X轴正向可见的角度值,zi为各采样截面沿Z轴的 坐标值.

　　若被测零件各采样截面轮廓的最小二乘圆心为oi(ai,bi,zi),则有

　　其中,m-各采样截面轮廓上的采样点数,n-采样截面数.

　　如图2所示,将所有被测点置于空间直角坐标系O-XYZ中,且令测量时的基准轴线与OZ坐标轴重合.各被测点的坐标为Oi(ai,bi,zi)(i=1,2,,,n.n为被测点个数).

　　若取被测点最小二乘直线L与XOY坐标平面的交点为A0(x0,y0,0),其一组方向数为u、v和1,则最小二乘直线L的直线方程为

　　即最小二乘直线L的直线方程可写作

　　各被测点Oi至最小二乘直线L的偏差为

　　根据最小二乘法原理,应使偏差的平方和为最小,即求的最小值.分别求Q对x0,u,y0,v的偏导数并令其等于零,并整理可得方程组:

　　上述方程组可分为两部分:第一部分包括前两式,是关于x0和u的方程组;第二部分包括后两式,是关于y0和v的方程组.这两部分的形式和性质基 本一致,其系数矩阵为对称矩阵,且是正定的.由方程组(5)可唯一解出x0,u,y0,v,然后代入式(2)中,即可确定最小二乘直线L.观察可知系数矩 阵是病态的,为避免求解病态方程组,需进行正交化处理.取各被测点的对称中心平面为XOY坐标平面,则方程组(5)可转换为