多基准轴线对平面倾斜度误差的解析评定

　　图1是ΦD孔轴心线对基准平面在任意方向上的倾斜度公差的标准示例。按照形位公差标准规定,被测要素应该位于这样一个圆柱体内,该圆柱体的轴心 线与基准面A成理论正确角度A,与基准面B平行,且距离为理论正确尺寸L。包容被测实际要素的理想圆柱面的直径即为轴线对平面在任意方向的倾斜度误差值。 目前该项误差的评定多采用近似的、间接的测量方法,所测结果的可信度很低。因此,迫切需要研究和探讨该项误差的解析评定法,以获得真实的、符合其定义的轴 线对平面在任意方向的倾斜度误差。

　　1.建立基准平面

　　将被测平面置于如图1所示的空间直角坐标系OXYZ中,并对基准实际平面A和B以矩形网格方式进行采样。设基准实际平面A的采样点的坐标为 Pi1j1(xi1,yi1,zi1j1)(i1=1,2,…,n1;j1=1,2,…,m1);基准实际平面B的采样点坐标为 Pi2j2(xi2,yi2,zi2j2)(i2=1,2,…,n2;j2=1,2,…,m2);。则基准实际平面A的正交最小二乘平面01的法向量 [1]_N1={a1,b1,-1}为

　　式中,B0(x0,y0,z0)为基准实际平面B在采样时各离散点的对称中心的坐标值,xi2j2为采样值。

　　2.确定被测实际轴线

　　以被测孔的回转轴线为Y′轴,建立空间直角坐标系O′X′Y′Z′;并使O′X′//OX,X′O′Y′坐标平面与与XOY坐标平面的夹角为原设定角度A。O′在采样截面的对称中心平面上,它在OXYZ中的坐标值为(a0,b0,c0)。如图2所示。

　　在O′X′Y′Z′中,沿被测要素的轴线方向取若干个等距截面,在每一采样截面内进行等角度间隔采样,设各采样的坐标为PIJ($rIJ,yJ ′,HIJ)(I=1,2,…,N;J=1,2,…,M),则被测要素各采样截面轮廓的最小二乘圆心o′J(a′J,y′J,b′J)的坐标分量为

　　由o′J(1≤J≤M)连成的折线即为被测实际轴线。

　　设被测实际轴线的正交最小二乘轴线l1与X′O′Z′坐标平面的交点为A′0(x′0,0,z′0),l1的方向向量为_S′={y′,1,l′},根据最小二乘原理,其坐标分量为

　　值得注意的是,在采样过程中,必须使被测要素各采样截面之间的间距与第一基准面A各采样点Pi1j1沿Y轴方向的间距相等。

　　3.坐标转换

　　根据两坐标系的相对位置关系,o′J点在OXYZ中的方位可由下式确定。设o′J点在OXYZ中为oJ(aJ,yJ,bJ)(1≤J≤M),则

　　式中,;Mx为按右手法则绕OX轴旋转的旋转矩阵。

　　同理,在OXYZ中,l1上的A′0在旋转变换后变成的A0(x0,y0,z0)和l1在旋转变换后的方向向量可由下式确定