平面曲线轮廓度误差的高斯-牛顿法评定

　　0　前言

　　线轮廓度是对曲线形状的要求，是限制实际曲线对理想曲线变动量的一项指标，是零件形位公差国家标准和国际标准中应用广泛而又难以测量和评定的项 目[1，2].线轮廓度误差指实际轮廓线偏离理想轮廓线的程度，用距离最小的两条与理论轮廓线处处等距的曲线包容实际轮廓线，两条等距曲线的距离即是该轮 廓线的轮廓度误差.在工程领域中，对于精密传动零件的复杂曲面可以通过控制其一系列截面形状即用一系列平面曲线来表征，因而线轮廓度的评定有重要的理论意 义和实用价值.由于在进行线轮廓度的精密测量时必然存在一定的安装误差，即被测轮廓的测量基准与设计基准之间存在位姿误差，会对评定结果产生影响，从而降 低评定精度，因而在进行精密测量时必须进行误差分离，分离出位姿误差和轮廓度误差.线轮廓度的评定方法主要有最小二乘法、最小区域法.最小区域法建立评定 的数学模型比较困难，当测量点密集时，利用最小二乘法所求解的误差曲线与实际的误差曲线非常接近，因而是最小区域法的最佳逼近，为此工程上通常采用最小二 乘法进行线轮廓度误差评定.本文利用高斯-牛顿法进行了线轮廓度的误差分离，从而实现了位姿误差和线轮廓度误差的最小二乘法求解.

　　1　测量数据的预处理

　　如图1所示，在用坐标法进行轮廓度测量中常采用球形测头，因此测量数据反映的是测头球心轨迹的节点坐标值，而不是被测轮廓节点坐标值.图1 中，τ和n为点Pi处的切矢与法矢.在进行精密测量时，即使测头半径很小，其对评定的影响也不能忽略，因此在进行轮廓度误差评定以前需对测量数据进行预处 理，即需要通过测头半径补偿将轮廓度的测量数据变换为评定数据，进行各触点法线方向的测头半径补偿[3-5].测头中心轨迹与被测轮廓互为等距曲线，将此 曲线沿各测头中心点法向向轮廓表面等距平移测头半径值，实现法线方向的测头半径精确补偿.假设轮廓曲线方程为f(x，y)=0，则测头半径的补偿公式如 下：

    （1）

　　式(1)中，R为测头半径，xi和yi分别为点Pi的横、纵坐标，y′i为点Pi处的斜率，当R位于被测曲线法矢量所指一侧，如图中P′i一侧，取“+”，反之，若R位于P″i一侧，取“-”.

　　2　平面曲线轮廓度误差的评定

　　2.1　误差分离数学模型的建立

　　由于线轮廓度误差符合“小误差假设”，即被测线轮廓度误差与相应的被测曲线名义尺寸相比是微量，故可以推导出评定点Pi(xi，yi)至理论曲线的距离为di：