曲梁的剪应力和径向应力的积分方程解

　　国内外的材料力学教科书,对曲梁横截面上的正应力大都有详细推导,而对于曲梁的剪应力,或者忽略不计,或者采用直梁公式^〔1,2〕,对曲梁的径向应力则更少述及。某些高等材料力学书中导出了求解曲梁剪应力和径向应力的积分方程^〔3,4〕,但均未直接对方程进行求解,笔者直接对曲梁剪应力积分方程进行求解,导出了曲梁剪应力和径向应力的解析计算公式,并以矩形截面曲梁为例,进行了计算比较。本文的结果与弹性理论解非常接近。

　　1　曲梁的平衡方程和横截面上的正应力

　　考虑一具有纵向对称平面的曲梁,所有外力均作用在此对称面内,如图1所示。图中坐标轴s沿轴线方向,z轴是指向曲率中心的径向坐标,且为横截面的对称轴,y轴则为横截面内的另一形心轴,与z轴垂直。

图一

　　由微段梁在小变形情况下的平衡条件可得如下平衡方程^〔3,4〕

　　式中的M、Q、N分别为横截面上的弯矩、剪力和轴力。

　　文献^〔3、4〕忽略了径向应力对轴向应变的影响,根据平面假设和虎克定律导出了截面上正应力的计算公式

　　式中　A,R为曲梁的横截面面积和曲率半径,J_y定义为下面的积分

　　2　曲梁的剪应力和径向应力

　　用夹角dφ的两个横截面和与坐标面sy平行的曲面从梁中取出单元体efmn,如图2所示。单元体上的轴力N*和剪力Q*为

　　式中,A^*为em面即f_f线以下部分的截面积,在曲面ef上有剪应力τ_sz和径向应力σ_z。由单元体efmn的平衡条件得〔3,4〕

　　式中,b是f_f处的截面宽度。由于(6)式中的Q^*为剪应力τ_sz在面积A^*上的积分,故(6)式是一个关于τ_sz的积分方程。

　　为了便于求解积分方程(6),需要对它作些变换。将(2)式代入(4)式,再代入(6)式,并利用(1)式,可得

　　将上式左、右两边遍乘因子b(R-z)后对z求导,然后再遍乘因子(Q-z),整理得

　　两边对z积分得

　　式中C为积分常数,由于在z=h₁处有τ_sz=0,故C=0,于是

　　　　式中

当 (9)式变为直梁的弯曲剪应力公式

　　将(9)式代入(5)式后求导,并注意到(1)式,得

　　将(2)式代入(4)式,再与(11)式一起代入(7)式后得

　　由(12)式可见,在曲梁下边缘,即当z=h₁时,σ_y=0,故满足曲梁下表面处的边界条件(无分布荷载作用)。对于曲梁上表面,即当z=-h₂时,由(6)式和(7)式可看出τ_sz=0,σ_z=图8。这里σ_z值即等于曲梁顶面单位面积上所作用的外力。