复合单元法在变截面梁自由振动分析中的应用

　　在工程结构中,有很多可以简化成梁结构的形式,或者本身就是梁。例如,土木工程中的跨度桥梁结构;机械工程中的转子轴承;航空工程中的天线等。 因此,对梁的动力特性分析的研究在梁的设计和损伤检测中具有重要意义[1-2]。对梁的自由振动问题分析已有的方法很多,有理论方法,如 Rayleigh-Ritz法[3], ComponentModalAnalysis法[4],Green函数法等[5];还有数值方法,如有限元法[6-8]。众所周知,利用有限元法要想得 到较精准的高阶固有频率和振型,需划分较多的单元,因而导致计算量较大。

　　本文利用复合单元法建立了多阶梯变截面和渐变截面梁的有限元分析方程[9-11],并进行了自由振动问题的分析。复合单元法的主要优点就在于其 不但继承了有限单元法将结构离散化的思想,又引入经典的振动分析中的特征函数,二者相耦合。这样在保证一定计算精度的同时,能使划分的单元数量明显减少, 从而可以减少计算量,提高计算效率。

　　1　复合单元法简介

　　复合单元法是一个相对较新的建模工具。这个方法将常规的有限单元法与高精度的解析理论相结合。用复合单元法解梁的问题时,位移函数是有限元法的位移函数和振动理论中的特征函数的耦合和扩大[9]。

　　1·1　复合单元法的位移函数

　　复合单元法的位移函数的一般表示为

　　其中uFEM(x, t)为有限单元法(FEM是finite ele-mentmethod的缩写)的位移场

　　这里, N (x)为有限单元法梁单元的形函数

　　q(t)为节点位移矢量

　　上式中‘v’和‘θ’分别代表竖向位移和转角。

　　uCT(x, t)是解析法(CT是classical theory的缩写)位移函数

　　φi(i=1, 2,…N)是解析法梁的特征函数,ci(t)是c-自由度

　　由式(2) - (5),式(1)可写为如下形式

　　其中S (x)为耦合后得到的复合单元法形函数

　　Q (t)为耦合后单元节点自由度

　　2　自由振动分析

　　2·1　整体刚度矩阵

　　假设矩形阶梯梁共有i个阶梯单元,假设每个单元长度为Li,截面高度hi分布为:

　　抗弯刚度矩阵可表示为:

　　其中EIi(xi) =Ebih3i12,bi为单元截面宽度,E为弹性模量。

　　复合单元法单元形函数组装成整体形函数的形式如下

　　其中,i代表阶梯数,j代表复合自由度级数。组装时,各个单元的有限单元法形函数N (x)须上下对应,解析法的特征函数φi不同单元的相同级数之间须上下对应。