基于均匀分布的圆度误差评价

　　一、引言

　　在圆度误差的评价中,最常用的计算方法为最小二乘法。由于残差为圆心坐标及圆半径的非线性函数,因此不易直接求解,必须运用某种优化迭代算法如单纯形法、Gauss- Newton法、Levenberg-Marquart法等。但是,这些算法均为局域算法,算法的成功依赖于初始点的选择。为了得到全局的最小值,往往多选择一些初始点进行试算。但是这样并不能保证全局最优点的获得,因为初始点的选择是盲目的。为了在设计变量的全局范围正确评价圆度误差,本文借用均匀分布和数论的思想,选择合适数量的初始点,使之均匀分布在设计变量(圆心坐标和半径)可行域之内,同时利用普通的优化迭代算法,得到若干个局部最优点,选择其中使残余误差最小的一点作为圆度误差评价结果。计算结果表明,本文介绍的方法可以有效、正确地评价圆度误差。

　　二、圆度误差评价模型

　　为了评价圆度误差,可以转轴为中心,在被测平面圆的圆周方向每隔一定角度Ai,测量被测点的极径σi。一般认为αi是可以精确测量的量,而σi是存在测量误差的随机变量,此时圆心坐标(u1,u2)及半径R满足如下观测方程[2]:

　　式中,εi为残余误差,且互相独立。

　　定义如下准则函数:

　　式中

　　显然,使JNymin而得到的H=[u1,u2,R]^T就是所要求的最小二乘圆心坐标和半径,此时有:

　　式(4)是一组复杂的非线性方程组,无法直接求解,因此必须运用某种形式的迭代计算法。比较常见的算法有Gauss-Newton法、Levenberg-Mar-quart法等。

　　三、初始点的均匀分布方法

　　均匀设计方法是20世纪80年代初由方开泰与王元[1]共同提出来的一种能适应多因素多水平实验的方法,而且实验次数较少。该方法的数学基础是数论。为了在[a,b]=[a1,b1]x,x[as,bs]产生一个均匀散布的点集,一种做法是在s维单位立方体Cs上找出一个均匀散布的点集(亦称为Cs上的数论网络:NT-net),然后将NT-net映射到[a,b]上。

　　如何产生数论网格有很多办法。文献[1]对此有详细的论述。它由一套通过精心设计的表来进行,称为均匀设计表,记为UQ(Rs)。其中U表示均匀设计,Q表示设计次数(布点数),R表示设计水平数(各设计变量取值范围的均匀分段数),s表示设计因素数(可能的设计变量维数),它可以将实验次数降到水平数的一次方数量级(即Q=R)。该设计表可以根据均匀设计原理,通过编制程序获得。与均匀设计表相对应的还有一个使用表,它指示如何从均匀设计表中选用适当的列(这些列反映了点的均匀分布情况),选用方法可以遵照各种不同的均匀性度量原则来获得,其中最简单易行的是所谓的好格子点法。