基于坐标变换原理的最小区域法评定空间直线度误差

　　直线度误差的评定方法一般有三种:两端点连线法、最小二乘法、最小区域法。两端点连线法的计算最为简单,但精度较低,不适于现代精密测量;最小二乘法是目前应用最广的评定方法,无论是文献叙述还是实践应用都已经很多;最小区域法是唯一满足最小条件的评定方法,所得的误差值最小,不会将合格的产品作为不合格产品剔除。由于两端点连线法和最小二乘法有可能将合格品作为废品剔除,因此,在国家标准GB1958-80中规定了最小区域法作为最终的评定基准。目前,最小区域评定方法的实用算法不是很多,尤其是对于空间直线的评定,论述极少,因此本文提出了采用基于坐标变换原理的最小区域法评定空间直线度误差的算法。

　　1　坐标变换原理

　　设有n个测量点为pi(xi,yi,zi)(i=1,2,…,n),按最小条件评定误差的理想直线为l,适当选取α,β和平移量Δ,使l绕x轴旋转α角度后为平行于平面zox的直线l1,l1绕y轴旋转B角度后为平行于z轴的直线l2,l2再进行坐标平移Δ,其中沿x,y,z轴各方向的平移量分别为Δx,Δy,0,移后,为直线l′,则可以使l′与z轴重合。如图1(a),(b),(c)所示,其中A为直线l与平面zox的夹角,β为l1与z轴的夹角,(-Δx,-Δy,0)为l2与xoy平面的交点坐标。

　　由于各个测量点与理想直线作统一坐标变换时不会影响各点之间的相互关系和各点与理想直线的关系,因此,我们可以把各个测量点和理想直线l一起作坐标变换,变换后l变换为与z轴重合的直线l′,各个测量点pi(xi,yi,zi)(i=1,2,…,n)坐标变为p′i(x′i,y′i,z′i)(i=1,2,…,n),各点到理想直线的距离为di,则

　　把di中的最大值记为dmax,每取一个(α,β,Δ),就对应着一个dmax,变换(α,β,Δ),就会得到不同的dmax,即dmax为(α,β,Δ)的函数,求该函数的最小值记为mindmax,则mindmax的2倍即为直线度误差。

　　最小条件评定的直线度误差为

　　2　数学模型的建立

　　设沿x轴旋转α角度的旋转矩阵为[α],沿y轴旋转β角度的旋转矩阵为[β],平移Δ的平移矩阵为[Δ],根据数学方法有

　　则测量点p′i与pi的坐标关系为

　　由此可以算得

　　我们在这里只需求d²i,而不用求di,因为当d²i最大时,di也为最大,反之亦然。

　　(其中α,β,Δ是优化求解的参数)

　　直线度误差为

　　3　计算实例

　　采用单形调优法编制程序,此处的优化程序为4维优化,Δ中含有两个参数Δx,Δy,程序框图和程序代码略。运用程序进行计算得到结果。