圆度新算法的探讨及其在微机上的实现

　　一、关于圆度的概念

　　生产加工的圆形工件,到底圆不圆,圆到什么程度,能不能满足技术要求,这是非常值得关切事情,它关系到该工件的取舍、乃至整个批次工件的取舍。在检测实践中,圆度主要通过圆度仪、三坐标测量仪等仪器测量、计算获得,这些仪器所自带的圆度计算程序,尤其是计算方法,通常都是严格保密的(因此也价格不菲),然而实际上这些神密的程序未必都能对圆度误差进行高精确度的计算。

　　在国标5圆度测量术语、定义及参数6(GB7324-87)中,关于圆度的概念有四种,分别是“最小区域圆”、“最小二乘方圆”、“最小外接圆”和“最大内接圆”,它们都可以用以评定现实中圆形物体与理想圆的接近程度。对于上述后三种圆度定义,人们比较容易找到相应的计算方法,通过计算机快捷地算出各自意义上的圆度误差值。唯独对“最小区域圆”,大家见仁见智,仍在继续探索之中,以期找到更好的算法。

　　“最小区域圆”表述为:包容显示轮廓(指圆形物件的外轮廓)、半径之差为最小的二个同心圆,其半径差值即为该轮廓的圆度,如图一所示的D值。但对于如何找到这二个使得半径之差达到最小的特殊同心圆,国标没有给出具体的方法或是算法,就连大概的方向也没有指明。有些研究人员从定义出发,找到了一些获取“最小区域圆”的算法,经编程计算,结果表明优于其他三种方法。这说明,相对于其他三种方法,用“最小区域圆”的意义上二个同心圆来评定圆度是最合适的,符合“最小条件原则”。

　　本文试图另辟蹊径,寻求一种新的计算圆度的“最小区域圆”,它既符合“最小条件原则”,又可以借助计算机,人为控制它以达到任意高的计算精度。

　　二、新算法的中心思想

　　在实际情况下,对于圆形的外轮廓,人们一般是通过测量圆形物外轮廓上有限个点来描述的,这些点比较均匀地分布在外轮廓上,测点越多、越密,越逼近外轮廓的实际。

　　我们的问题锁定在这些由测量获得的n个点P1~Pn,寻求“最小区域圆”就转化成寻找“包容测量点P1~Pn且半径之差为最小的二个同心圆”的算法。换一种说法,就是要寻找一个点O(二个同心圆的圆心),使各点Pk(k=1~n)至O点距离的最大值与最小值之差,达到最小。如果找不到理想的O点,也要尽可能地逼近它。

　　单纯地寻找二个同心圆,把P1~Pn包容在两圆之间,很容易做到,比如通过“最小二乘法”求得同心圆之圆心。该圆心可以作为本算法的初始圆心O,设点集Pk(k=1~n)距O的最近点为Pi,最远点为Pj,两同心圆的半径分别为ri=OPi,rj=OPj,二者之差δ=rj-ri,此即“最小二乘法”之圆度误差值。