两端固定音叉的力-频率关系及其非线性

    两端固定音叉结构一般用于加速度计来敏感加速度信号，如石英振梁加速度计和近年来出现的硅微机械振梁加速度计。这种结构敏感力信号的基本原理是，在沿着梁的轴线方向的力的作用下，梁的固有振动频率会发生改变。在振梁加速度计中，作用在梁上的轴向力就是敏感方向上的加速度分量产生的惯性力[1,2]，但是也有把惯性力经过杠杆放大再作用在梁的轴向的结构方案[4,5,6]。把两端固定音叉结构作为振荡器件，与其它电路元件一起构成振荡电路，就可以实时检测出梁的固有频率，从而获得被检测的加速度信号。梁的固有频率与轴向力之间的关系是设计这种传感器的基础但是在各种文献中所使用的表达这一关系的公式却有着细微或显著的差别[1－6]。本文以梁的振动方程为基础，对两端固定梁的轴向力与固有角频率之间的关系建立一个精确的公式，并进一步讨论差动音叉结构的力-频率差关系和振梁加速度计的量程与非线性之间的关系。

    1 梁的固有频率与轴向力的关系

    两端固定音叉结构如图 1 所示，它由两根完全相同且互相平行的矩形截面直梁构成，梁的末端为固支形式。采用两根梁的原因是在两根梁反向振动的模态下，梁根部附近的固定结构受到两根梁相反的作用，应力影响范围小，能量损失小，可以提高结构振动的品质因数。因此一般采用这个振动模态作为工作模态。

    由于两根梁的结构参数完全相同，受力也相同，所以它们固有频率与轴向力之间的关系也相同，分析一根梁即可。

    1.1 两端固定梁的振动方程的解

    1.1.1 轴向力为拉力的情况

    在轴向拉力作用下，梁的横向弯曲自由振动微分方程为[7]：

    其中，E 为弹性模量；3J = hb12，为梁的横截面在弯曲方向的惯性矩；y 为挠度，x 为轴向坐标，N为梁受到的轴向力， ρ 为材料的密度，A 为梁的横截面积，t 为时间。设方程（1）的解为：

y ( x , t ) = Y ( x )sin(ω t)（2）

    其中， Y ( x )为梁的振型函数，ω 为振动角频率。把式（2）代入式（1），得到式（1）的特征方程为：

    解得特征方程的 4 个根，获得带有待定常数的式（1）的解，把两端固支梁的边界条件代入，若保证待定常数有非零解，必须有：

    由方程（5）和（6）即可解得梁的振动角频率ω 与轴向力 N 之间的关系。

    1.1.2 轴向力为压力的情况

    在轴向力为压力的情况下，用与上面相同的方法推导，得到：

    式（7）与式（5）对应，并仍有关系式（6）。