基于Excel的平面度误差最小二乘法评定

　　0　引言

　　平面度误差是指被测实际表面对理想平面的变动量,而理想平面的位置应符合最小条件。若用水平仪、自准直仪按节距法测量实际表面上各点相对于测量基准的平面度误差时,确定评定基准的方法可用最小二乘法和最小区域法、对角线平面法和三远点平面法[1]。

　　Excel是最普通的桌面办公软件,具有强大的计算功能,其中Excel单表就可以容纳256行×65 536列的大型矩阵,通过粘贴函数fx来实现矩阵的求逆,矩阵的四则运算等,建模过程中对于数组函数使用步骤:选择输出区域,{=f(输入区域)},f表示数组函数公式,{}内为输入内容,按Ctrl+Shift+Enter可获得所需要的结果。通过单元格公式的拖放实现传统编程赋值和循环功能,同时公式支持嵌套,实现传统编程的选择和跳转功能。并且表图间可实时动态调用。

　　本文通过实际测量的数据按照最小二乘法的原理进行数学建模,并且充分利用Excel强大的科学计算及数据处理能力。使平面度误差的计算迅速、准确、可靠。

　　1　数学模型的建立

　　平面度误差反映的是实际表面不平的程度,在三维空间直角坐标系中,平面的方程可以表示如下:

　　设被测面上有N个测量点

　　则三维空间实际表面的数学模型表示为:

　　(2)式中A、B、C是三个待估计的参数,Xi、Yj是两个可以精确控制的一般量,fij是被测实际表面上各测点相对于评定基准的偏差,它是N个相互独立且服从同一正态分布的随机变量[2]。

　　2　最小二乘法的评定分析

　　用最小二乘法估计参数A、B、C,设a、b、c分别为A、B、C的最小二乘估计,则评定基准数学模型为

　　根据最小二乘法的原理:必须使被测表面上全部观测值与评定基准的回归值偏差的平方和达到最小[3,4],即:

　　利用数学分析中求极值的方法,即求出U(a,b,c)后,对a、b、c求偏微商,再使偏微商等于零,得到a、b、c应满足如下方程:

　　简化上述方程得:

　　(3)式用矩阵表示如下:

　　通过(4)可以看出,要想求线性方程组的解可以通过Excel的求逆函数MINVERSE()与矩阵乘法函数MMULT()来实现,并且通过按Ctrl+Shift+Enter可获得基准平面方程系数a、b、c值。至于数组求和、数组的平方和、多个数组之间的乘积等都只需通过单元格公式的拖放即可轻松实现。

　　3　应用实例

　　若用分度值为0.01mm/m的合像水平仪每隔10cm等距测量一块小平板的平面度误差,被测实际表面上各测点的坐标值如Excel界面图所示,通过Excel强大的矩阵计算功能,可以轻松地得到:a=-0.019,b=-0.593,c=1.4124,则被测实际表面的评定基准回归方程如下:Z*ij=-0.019Xi-0.593Yj+1.4124.因此可以算出被测实际表面上各测点相对于此评定基准回归值的误差值为:f=9.6160μm.