JB/T7557–1994《同轴度误差检测》中数据处理方法之疑议与补缺

    从 JB/T 7557 – 1994《同轴度误差检测》[1]可知，测量与数据处理是同轴度误差评定的两大内容，数据处理又以求取基准轴线为核心重点．文献[1]认为，基准轴线的确定，是在获取基准要素回转面上各截面所有测点坐标之后，选定四种方法之一进行计算，由此生成回转面的中轴线作为基准轴线．此四法是最小区域法、最小二乘法、最小外接法和最大内接法，而且将“最小区域法”作为首选算法，并叙述了求取基准轴线过程的详细操作步骤，见图 1．

   文献[1]首先设定基准要素是若干个正截面圆，每个截面圆周上均布有若干测量点，需要解决的核心问题是求出各个截面圆的中心位置．很显然，符合“最小区域法”的圆心求取问题，其实就是一个典型的 minmax 求解问题，文献[1]在求取过程中对这一关键环节描述是：

    b. 按一定优化方法移动中心 O 至 O′；其中

    Δri：中心移动前的半径差值；

    e：中心移动量；

    αi：测点径向线 ri与中心移动方向线 OO′之间的夹角．

    αi、e 分别是移动中心 O 至 O′的方向和步长，移动 O 至 O′的目的是使“误差带”逐步向“最小区域”逼近，从而求出符合“最小区域”原则的截面圆心．

    遗憾的是文献[1]对所谓的“一定优化方法”未做交代，对 αi、e 这两个关键数值的来龙去脉没有作具体说明，令人无所适从．不可避免的，笔者对文献[1]附录 B 应用示例中 4 个基准截面圆中心、7 个被测截面圆中心的计算结果是否符合“最小区域”原则、该示例的同轴度误差的最终评定结果之合理性，产生了疑义，继而试着寻求更优化的算法，重新评定附录 B 中计算结果的可靠性与高精度性，对正确运用国标有所裨益．

    1 “最小区域”意义下求圆心之数学模型

    所要推敲的基准截面圆中心、被测截面圆中心问题，都属于 minmax 求解问题，归纳起来可以表述为：某一实测圆，圆周上均布有 n 个测点 Qk(xk,yk)（k＝1~n），要以点集 Qk（k＝1~n）为基础拟合出两个同心圆，不妨记共同圆心为 O(xO,yO)，Qk至圆心 O 的距离为 sk（k＝1~n），按照“最小区域”判定原则的要求，圆心 O 应该满足下式：

    f＝max(sk)－min(sk)（k=1~n）—＞min；

    f 表达式的几何意义是：有两个同心圆，所有的点 Qk(xk,yk)（k＝1~n）都落在两个圆之间，且这两个圆之间的区域达到最小．表达式中 max(sk)为同心圆中的大圆半径，min(sk)为小圆半径，因此“f—＞min”也可看作是两个同心圆的半径之差趋于最小，如此则 O 点就是符合所谓的“最小区域”原则的圆心，也就得到我们所求取的拟合同心圆了．